Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южный Федеральный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

math-bio.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3025 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Приложения производной

148

Предел, стоящий справа, не существует, но отсюда никак не следует, что не существует и предел, находящийся в левой части данного равенства, поскольку, как

легко убедиться,	f(x)		1
lim		= lim x sin		= 0.
	g(x)		x
x→0		x→0

Следовательно, применять первое правило Лопиталя в данном примере было нельзя.

7.8. Рекомендации

Студентам, испытывающим серьезные трудности при изучении курса высшей математики, рекомендуется в первую очередь разобрать следующие вопросы.

1.Дать определение возрастания функции в точке и на отрезке.

2.Дать определение убывания функции в точке и на отрезке.

3.Как на практике установить факт возрастания или убывания функции?

4.Дать определение максимума функции.

5.Дать определение минимума функции.

6.Дать определение экстремума функции.

7.Как на практике установить факт наличия у функции экстремума и определить его вид?

7.9. Вопросы для самоконтроля

1.Дать определение возрастания функции в точке и на отрезке.

2.Дать определение убывания функции в точке и на отрезке.

3.Сформулировать и доказать необходимое условие возрастания функции в точке.

4.Сформулировать и доказать необходимое условие убывания функции в точке.

5.Сформулировать и доказать достаточное условие возрастания функции в точке.

Приложения производной

149

6.Сформулировать и доказать достаточное условие убывания функции в точке.

7.Дать определение максимума функции.

8.Дать определение минимума функции.

9.Дать определение экстремума функции.

10.Сформулировать и доказать необходимое условие экстремума функции.

11.Сформулировать и доказать два достаточных условия экстремума функции.

12.Как находится наибольшее и наименьшее значения функции на открытом промежутке?

13.Как находится наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом промежутке?

14.Вывести уравнение касательной.

15.Изложить алгоритм решения уравнения f(x) = 0 методом Ньютона.

16.Сформулировать первое правило Лопиталя.

17.Сформулировать второе правило Лопиталя.

Найти интервалы возрастания и убывания следующих функций.

Пример

Ответ

f(x) =

x3 −

x2 + 2x

& (

, 2),

% (−∞,

)

(2, +∞)

f(x) = (x2

− 1)

& (−∞, −1),

% (1, +∞)

f(x) = xe−x

(1, + ),

∞

% (−∞, 1)

Приложения производной																			150

	4.	f(x) = (2 − x)(x + 1)2								& (−∞, −1) (1, +∞),
												% (−1, 1)

	5.	f(x) = (x ln x − x)2										& (1, e),
											% (0, 1) (e, +∞)

		1			1
	6.	f(x) =		x4 +				x3 − x2			& (−∞, −2) (0, 1)
	6.	f(x) =	4	x4 +			3	x3 − x2			& (−∞, −2) (0, 1)
											% (−2, 0) (1, +∞)

	7.	f(x) =					x				& (0, 1) (1, e),

						ln x
											% (e, +∞)

	8.	f(x) = (2x + 1)e− 2									&		2, +∞ ,
									x					3
											%		−∞, 2
															3

						x3									3
	9.	f(x) =									& −∞, −									,
	9.	f(x) =			1 + x					%	& −∞, −						2			,
										%	−2, −1 (−1, +∞)
											3

	10.	f(x) = x3(x − 1)									&		−∞, 4					,
																3
											%				4, +∞
															3

Исследовать следующие функции на экстремум.

	Пример	Ответ
	Пример	Ответ
1.	y = (x − 2)ex	ymin = y(1) = −e

Приложения производной

151

y =

ymin = y(−1) = −0, 5

1 + x2

ymax = y(1) = 0, 5

y = (x − 1)4

ymin = y(1) = 0

y = ln(x2 + 1)

ymin = y(0) = 0

y =

ymin = y(e) = e

ln x

y = xe− 2

ymin = y(−1) = −√

ymax = y(1) = √

y = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x

ymin = y(1) = −1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке [a, b].

	Пример				Ответ
	Пример				Ответ
1.	f(x) = 3x − x3;			[−2, 3]	fíàèì = −18,
					fíàèá = 2

					1
2.	f(x) = x ln x;			[1, e]	fíàèì = −			,
2.	f(x) = x ln x;			[1, e]	fíàèì = −		e	,
					fíàèá = e

3.	f(x) = x4 − 2x2 + 3;			[−3, 2]	fíàèì = 2,
					fíàèá = 66

		x
4.	f(x) =		;	[0, 4]	fíàèì = 0,
4.	f(x) =	x3 + 2	;	[0, 4]	fíàèì = 0,
					fíàèá =	1
					fíàèá =
					3

Приложения производной					152

	5.	f(x) =	x + 1	; [−1, 1]	fíàèì = 0,

			ex
					fíàèá = 1

Провести полное исследование следующих функциий и построить их графики.

Пример

y = 2 +

x2 − 4

y = ln(1 + x2)

y =

x − 4

√x

y = (x + 1)(x − 2)2

y =

x2(x − 1)

(x + 1)2

y = 3x − x3

y =

1 + x2

y = √

1 + x2

y =

x − 1

10.

y = x3 − 6x2 + 9x − 4

11.

y =

1 − x2

y = √

12.

x2 − 3x + 2

13.

y =

√

x2 − 1

Приложения производной

153

x2(x + 1)

14.

y =

(x − 2)2

15.

y =

√

x2 − 2x + 3

x3 − 4x

16.

y =

17.

y =

−

18.

y = x3 − 9x2 + 15x + 2

x2 + 1

19.

y =

x3 − 2x2 + 3x

20.

y =

21.

y =

22.

y = x +

x + 2

23.

y = x2e−x2

24.

y = (2x − 3)(x + 3)3

25.

y =

4 + x2

26.

y =

2x2

1 + x

27.

y =

x3 − 2

28.

y =

x2 − 3x + 2

x2 + 2x + 1

Написать уравнение касательной к кривой и построить графики кривой и касательной.

1.	К кубической параболе y =		x3	в точке x = −1.
			3
2.	К кривой y =	8		x = 2.

		4 + x2 в точке

Приложения производной					154
3.	К синусоиде	y = sin x в точке			x = π.
		4
4.	К гиперболе	y =		в точках	x1 = 1 è x2 = 4.
			x
5.	К параболе	y = 4x − x2 в точках пересечения с осью абсцисс.

Найти следующие пределы, используя правила Лопиталя.

			Пример													Ответ
			Пример													Ответ
1.	lim					x3 − 3x2 + 2												3
						x3 − 3x2 + 2
																		5
	x→1 x3 − 4x2 + 3																	5
2.		lim							ex − e−x							2
2.		lim							ln(1 + x)							2
		x→0							ln(1 + x)
3.	lim	2 − (ex + e−x) cos x																1
		2 − (ex + e−x) cos x
																		3
	x→0									x4								3
4.	lim					e3x − 3x − 1											9
4.	lim															50
	x→0								sin2 5x							50
		sin 3x − 3xe											x	2
5.	lim	sin 3x − 3xe												+ 3x		18
5.	lim													3		18
	x→0 arctg x − sin x −														x
	x→0 arctg x − sin x −														6
6.		lim						ln2(1 + x)								0
6.		lim								x						0
		x→0								x
7.	lim					ex + e−x − 2										1
	x→0									x2
8.		lim								x2						1
8.		lim								x2		+ 1)				1
	x→∞ ln(e											+ 1)
9.	lim				e3x − e2x − x													5
					e3x − e2x − x
																		2
	x→0									x2								2
10.		lim						ln(x − a)								1
		x→a ln(ex − ea)
11.	lim			ln x						,	(n > 0)					0
11.	lim									,	(n > 0)					0
	x→∞ xn
12.	lim									ln x						1

																2
	x→0 1 + 2 ln(sin x)															2

									tg(		πx		)
									tg(				)
13.		lim									2					∞
13.		lim						ln(1			−		x)
		x	→				1				−
		x					1

14.		lim							ln(x − 1)							0
		x→1								ctg πx

Приложения производной

155

15.		lim x ctg πx														1

																	π
		x→0															π
16.	lim(arcsin x											·	ctg x)			1
	x→0											·
	x 0			−					cos x) ctg x							0
17.	lim(1								cos x) ctg x							0
	→
18.			lim x ln3 x													0
		x→0
19.		lim						arctg x								1
19.		lim														1
		x→0									tg x
				1										1		1
20.	lim
	x→1			x − 1 − ln x												−2
	x→1 1 − x2 − 1 − x3															−2
21.	lim			2										3		1
21.	lim

22.	lim (π								− 2			x	)	cos x		1
	x→π2								− 2				)			1
														3		1
23.	lim(cos 2x)													x2
23.	lim(cos 2x)													x2			e6
	x→0																e6
24.	lim (x + 2x)x1															2
	x→∞
25.	lim				sin(sin x)											2
25.	lim															2
	x 0			√
	→					1 + x − 1
														1		1
26.	lim (x + √x)x															1
	x→∞
27.	lim		ln(ln(x2 − 3))													1
27.	lim				ln(x − 2)											1
	x→2				ln(x − 2)
	lim(sin x + √														)x	1
28.	lim(sin x + √													x	)x	1
	x→0
											ln x2					1
29.		xlim√										π				−
29.											sin x2								π
							π				sin x2								π
			→
30.		lim				arcsin x										1
30.		lim														1
		x→0								sin x
31.			lim							x − 1						1
31.			lim							x ln x						1
			x→1							x ln x

32.	lim				1 − cos 3x													3
32.	lim															2
	x→0										3x2					2

Приложения производной

156

33.

lim

ctg 2x

ctg 6x

x→π2

34.

lim(2

−

πx

x→2

x→0

tg x

35.

lim

36.

lim

tg x − x

x − sin x

x→0

37.

lim xsin x

x→+0

38.

lim(cos x)ctg2 x

x→0

√e

lim

√

ln x

39.

x→+0

40.

lim

x→π2

cos x − tg

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3025 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.2016981.11 Кб9matem2015-04-22proba2varianta_copy.pdf
#
04.08.2019249.14 Кб1Matematika.docx
#
12.03.2016167.18 Кб671MATEMATIKA_11_kl_Fevral_2016_copy.pdf
#
13.02.20151.2 Mб26Matematika_v5.pdf
#
19.09.2019382.46 Кб8material (4).doc
#
03.05.20151.13 Mб34math-bio.pdf
#
13.02.2015616.49 Кб412matlog2011.pdf
#
13.02.20152.14 Mб274Matmetodyvbiologii2012 (1).doc
#
13.02.20151.29 Mб21may07015.pdf
#
13.02.2015150.53 Кб7mdr.doc
#
31.08.201997.28 Кб3med.doc