Базовые понятия |
15 |
2.2. Высказывания
Определение 2.2.1.
Высказыванием называется утверждение, о котором можно сказать, что оно является истинным или ложным.
Отметим, что термин "утверждение" принадлежит к категории понятий, которые определить невозможно.
Пример высказывания.
"Студент биофака Василий Пупкин блестяще сдал экзамен по математике".
С высказываниями можно проводить различные операции, важнейшими из которых являются логическое отрицание, логическое умножение (конъюнкция) и логическое сложение (дизъюнкция). Этот вопрос рассматривается в математической логике. Мы не будем заниматься формализацией этих понятий, пояснив их только "на пальцах".
Отрицанию соответствует в русском языке частица "не", логическому умножению союз "и", а логическому сложению союз "или".
Примеры операций с высказываниями.
Пусть даны два высказывания: "Вася пошел в кино" и "Вася съел пирожок". Тогда высказывание "Вася не пошел в кино" является отрицанием первого из них, а высказывания "Вася пошел в кино и съел пирожок" и "Вася пошел в кино или съел пирожок" являются соответственно логическим произведением и логической суммой этих двух высказываний.
В математических текстах очень часто встречаются термины "необходимость" и "достаточность". Мы тоже будем нередко употреблять их в этом учебнике. Эти понятия являются очень важными. Ими нужно научиться владеть свободно.
Åñëè A è B высказывания, то слова "для A необходимо B " нужно трактовать
как высказывание, которое заключается в том, что из A следует B.
Если же говорится, что "для A достаточно B ", то это означает, что из B следует A.
Базовые понятия |
16 |
Отсюда вытекает, что высказывание "для |
A необходимо и достаточно B " нужно |
понимать как утверждение равносильности высказываний A è B, поскольку в этом случае любое из них является следствием другого.
Отметим также, что вместо слов "необходимо и достаточно" нередко говорят "тогда
и только тогда, когда".
Пример.
Умение решать примеры является необходимым условием успешной сдачи экзамена по математике. А вот достаточным это условие не является, поскольку на
экзамене требуется еще и знание теории.
Замечание.
Математические термины "конъюнкция" и "дизъюнкция", которые мы использовали выше, могут, как мы предполагаем, вызвать у некоторых студентов определенную неприязнь, а кое у кого и страх. Мы призываем вас относиться к новым терминам спокойно. Они ведь присутствуют в любой науке. Когда почвовед легко и непринужденно рассуждает об остаточно-карбонатных почвах или о почвах со вторым гумусовым горизонтом, математику тоже приходится несладко. Мы, разумеется, постараемся не перегружать этот учебник непривычными для вас терминами, но иногда без их использования обойтись не удается. Мы рекомендуем вам придерживаться в этом вопросе следующего принципа. Если какой-либо незнакомый и устрашающий термин встретился в учебнике всего один раз, просто примите этот факт к сведению. А вот когда такой термин используется многократно, нужно постараться его запомнить.
2.3. Кванторы
Понятие квантора также широко используется в математической логике. Мы не будем рассматривать его хоть сколько-нибудь подробно, ограничившись использованием кванторов для удобной и короткой записи различных математических утверждений.
Нам понадобятся только два квантора: и . Первый из них будет служить в каче-
стве замены слова "любой", второй слова "существует".
Пример.
Утверждение, что "для x y", следует понимать, как "для любого x ñóùå-
ствует y".
Базовые понятия |
17 |
2.4. Системы координат
Системы координат используются обычно, чтобы однозначно определить положение некоторой точки на прямой, на плоскости либо в пространстве.
Система координат на прямой представляет собой координатную ось, имеющую определенное направление. На ней должна быть задана точка, определяющая начало отсчета, и отрезок единичной длины, определяющий масштаб.
Система координат на плоскости задается двумя непараллельными координатными осями, точка пересечения которых принимается за начало отсчета. Обычно оси удобно выбирать так, чтобы угол между ними был прямым. Такую систему координат называют декартовой прямоугольной. Одна из осей называется осью абсцисс, другая осью ординат.
При изображении графика функции y = f(x) обычно ось абсцисс рисуется горизон-
тально (на ней откладываются значения x), а ось ординат рисуется вертикально (на
ней откладываются значения y).
Система координат в пространстве задается тремя координатными осями, точка пересечения которых принимается за начало отсчета. Если оси взаимно перпендикулярны, то такая система координат также называется декартовой прямоугольной.
Рис. 2.4.1. Декартова прямоугольная система координат на плоскости.
В декартовой прямоугольной системе координат на плоскости вся плоскость делится на четыре части, которые называются четвертями, квадрантами или координатными углами. Они нумеруются так, как показано на рис. 2.4.1.
Базовые понятия |
18 |
Замечание.
Существуют и другие системы координат (косоугольные, полярные, цилиндри- ческие, сферические и т. д.), задающие положение точки на какой-либо кривой, поверхности (например, на сфере) или в пространстве. Выбор удобной системы координат нередко помогает решить задачу.
2.5. Абсолютная величина числа
Определение 2.5.1.
Абсолютной величиной (или модулем) вещественного числа z называется число |z| , которое находится по правилам: |z| = z, åñëè z > 0, è |z| = −z,
åñëè z < 0.
Примеры.
Очевидно, что |5| = 5 è |−5| = 5.
Основные свойства модуля.
1. |z| > 0.
2. z 6 |z| .
3. |x + y| 6 |x| + |y| (неравенство треугольника).
4. Если число a > 0, то неравенство |z| 6 a равносильно двойному неравенству
−a 6 z 6 a.
Эти свойства обычно доказываются в школьном курсе элементарной математики.