Пример 7.1.10.

√

Требуется установить характер поведения функции f(x) = x(1+ x). Ýòà ôóíê-

которая положительна при любых x > 0. Значит, при x > 0 рассматривае-

мая функция возрастает, но о ее поведении в точке x = 0, как и в предыдущем

примере, мы ничего сказать не можем, поскольку определения 7.1.1 и 7.1.2 позволяют нам судить о возрастании и убывании функции лишь во внутренних точках каких-либо отрезков.

7.2. Экстремумы функции

Пусть функция y = f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки x0 (см. опреде- ление 3.2.2 на стр. 21).

Определение 7.2.1.

Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такое δ > 0, что выполняется условие f(x) < f(x0), когда x (x0 − δ, x0 + δ)

è x 6= x0.

Определение 7.2.2.

Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если существует такое δ > 0, что выполняется условие f(x) > f(x0), когда x (x0 − δ, x0 + δ)

è x 6= x0.

Определение 7.2.3.

Точка x0 называется точкой экстремума функции f(x), если она является

точкой максимума или минимума этой функции.

Замечания.

1.Определение 7.2.1 означает, что вблизи точки x0 самым большим значением функции является f(x0).

Теорема 7.2.1 (необходимое условие экстремума).

Если в точке x0 функция y = f(x) имеет экстремум, то в этой точке ее произ-

водная f 0(x0) либо равна нулю, либо не существует, т. е данная точка является критической.

Доказательство.

От противного. Пусть в точке экстремума f 0(x0) 6= 0. Тогда возможны только два случая. Если f 0(x0) > 0, то по теореме 7.1.2 (см. стр. 110) в точке x0 ôóíê- öèÿ y = f(x) возрастает. Если же f 0(x0) < 0, то по теореме 7.1.4 (см. стр. 111)

в точке x0 функция y = f(x) убывает. И то, и другое противоречит условию, что в точке x0 функция y = f(x) имеет экстремум.

Теорема доказана.

Замечания.

1. Рассматривая геометрический смысл производной ( ñì. ï. 6.2 на стр. 75), мы установили, что тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной к графику функции

y = f(x), проведенной в точке x0, совпадает со значением производной данной

функции, найденной в этой точке: tg α = f 0(x0). Åñëè f 0(x0) = 0, òî óãîë íà-

клона касательной к оси абсцисс равен нулю. По теореме 7.2.1 отсюда следует, что в случае, когда в точке экстремума функция дифференцируема, касательная, проведенная в точке экстремума, параллельна оси абсцисс. Этот случай представлен на рис. 7.2.2.

2. Возможен случай, когда в некоторой точке функция имеет экстремум, но дифференцируемой в этой точке она не является. Этот случай представлен на рис. 7.2.3.

На нем показана ситуация, когда в точке экстремума x1 производная функции

имеет разрыв первого рода (скачок), а в точке x2 разрыв второго рода. При

x → x2 касательная стремится занять вертикальное положение, а значит, тангенс

угла наклона касательной стремится к бесконечности, следовательно, и производная уходит на бесконечность.

3.Условия теоремы 7.2.1 достаточными не являются даже для дифференцируемых функций: обращение производной в ноль в некоторой точке еще не гарантирует,

что в этой точке функция имеет экстремум. Примерами здесь служат функции f(x) = const è f(x) = x3 (см. рис. 7.1.3 на стр. 112). У первой из них f 0(x) = 0

при любом x, а у второй производная f 0(x) = 3x2 обращается в ноль при

x = 0, но ни одна, ни другая функция экстремумов не имеют.

Рис. 7.2.2. В точке экстремума дифференцируемой функции касательная параллельна оси абсцисс.

Рис. 7.2.3. Здесь в точках экстремума функция дифференцируемой не является: в точке x1 ее производная имеет разрыв первого рода (скачок),

а в точке x2 разрыв второго рода (уход на бесконечность).

Доказанные теоремы дают прекрасный инструмент для исследования функций на наличие локальных экстремумов. Это удобно делать, придерживаясь следующей схемы.

1.Найти производную f 0(x).

2.Найти критические точки функции, т. е. точки, в которых производная равна нулю или не существует.

3.Исследовать знак производной f 0(x) слева и справа от каждой критической точ-

ки. Если смены знака производной нет, то нет и экстремума. Если же производная меняет знак при переходе через критическую точку, то экстремум имеется. Во втором случае нужно далее определить вид обнаруженного экстремума, выяснив, является ли он максимумом или минимумом функции. Для этого можно использовать первое достаточное условие экстремума (см. теорему 7.2.2 на стр. 119).

4.Найти экстремальные значения функции, т. е. значения функции в точках экстремумов.

Замечание.

Альтернативным вариантом этой схемы является использование на третьем шаге второго достаточного условия экстремума (см. теорему 7.2.3 на стр. 119). Для

этого нужно найти вторую производную f 00(x) и определить ее знак в каждой критической точке.

Рассмотрим серию примеров, демонстрирующих применение этой схемы на практике. Во всех примерах требуется исследовать функцию на наличие локальных экстремумов.

Пример 7.2.1.

Пусть f(x) = x. Производная этой функции f 0(x) = 1. Функция не имеет критических точек, следовательно, экстремумов у нее нет.

ïðè x = 0. Применим первое достаточное условие экстремума (теорему 7.2.2).

f(x) имеет минимум. Этот же результат получается, разумеется, если применить второе достаточное условие экстремума (теорему 7.2.3), поскольку вторая производная f 00(x) = 2 > 0 при любом x, а значит, и в критической точке. Значение

исследуемой функции в точке экстремума равно fmin = f(0) = 0.

Пример 7.2.3.

Пусть f(x) = x3. Производная этой функции f 0(x) = 3x2. Функция имеет един-

ственную критическую точку x = 0, но в ней производная не меняет своего знака, следовательно, экстремумов у данной функции нет.

Пример 7.2.4.

Пусть f(x) = x3 −3x+5. Мы уже провели исследование этой функции на возрас-

тание и убывание (см. пример 7.1.6 на стр. 113). Воспользовавшись результатами этого исследования, применим первое достаточное условие экстремума (теоре-

му 7.2.2). При переходе через критическую точку x = −1 производная данной функции меняет знак с плюса на минус (возрастание функции сменяется ее убыванием), значит, в данной точке функция имеет максимум fmax = f(−1) = 7. Ïðè

переходе через критическую точку x = 1 производная данной функции меняет знак с минуса на плюс (убывание функции сменяется ее возрастанием), значит,

в данной точке функция имеет минимум fmin = f(1) = 3. Легко убедиться, что второе достаточное условие экстремума (теорема 7.2.3), дает тот же самый

результат, поскольку вторая производная данной функции равна f 00(x) = 6x,

а значит, f 00(−1) = −6 < 0 è f 00(1) = 6 > 0.

Пример 7.2.5.

Пусть f(x) = (x −1)3 + 1. Производная этой функции f 0(x) = 3(x −1)2 обраща-

ется в ноль в точке x = 1. В ней знак производной не меняется. Следовательно, данная функция не имеет точек экстремума.

Пример 7.2.6.

Пусть f(x) = |x|. Производная этой функции в ноль не обращается, но при

x = 0 данная функция не является дифференцируемой (см. пример 6.1.3 íà ñòð.

75). Данная функция имеет единственную критическую точку x = 0. Слева от

íåå f 0(x) = −1 < 0, а справа f 0(x) = 1 > 0. Это дает нам возможность применить первое достаточное условие экстремума (теорему 7.2.2) и заключить, что критическая точка x = 0 является точкой минимума данной функции. В ней

fmin = f(0) = 0. График этой функции изображен на рис. 7.2.4. Использовать

второе достаточное условие экстремума (теорему 7.2.3) мы в этом примере не можем, поскольку в критической точке рассматриваемая функция дифференцируемой не является.

Рис. 7.2.4. График функции f(x) = |x| имеет минимум в точке x = 0.

Пример 7.2.7.

Она не существует при x = 0 и равна нулю при x = 8. Исследование возрастания

и убывания данной функции, подобное тому, которое мы выполнили в примере 7.1.7 (см. стр. 114), дает результат, представленный на следующей схеме.