- •1 Лекция 1. Понятие моделирования. Цели моделирования
- •2 Лекция 2. Основные термины в математическом моделировании. Виды математических моделей
- •2.1 Основные термины в математическом моделировании
- •2.2. Основные виды математических моделей
- •3 Лекция 3. Этапы процесса моделирования. Общие принципы построения моделей
- •3.1 Этапы процесса моделирования
- •3.2 Общие принципы построения моделей
- •4 Лекция 4. Аналитические методы определения характеристик объектов
- •4.1 Основные уравнения динамики
- •4.2 Упрощение уравнений динамики
- •4.3 Линеаризация уравнений
- •5 Лекция 5. Аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами
- •6 Лекция 6. Примеры моделирования объектов с сосредоточенными параметрами
- •7 Лекция 7. Объекты с сосредоточенными параметрами. Динамика теплообменных процессов
- •8 Лекция 8. Аналитические методы определения характеристик тепловых объектов
- •9 Лекция 9. Моделирование объектов с распределенными параметрами
- •10 Лекция 10. Общие сведения о проблеме идентификации
- •10.1 Основные понятия
- •10.2 Классификация методов идентификации
- •11 Лекция 11. Постановка задачи идентификации
- •11.1 Объект идентификации
- •11.2 Постановка задачи идентификации
- •12 Лекция 12. Идентификация линейных динамических объектов. Прямые методы
- •12.1 Прямые методы определения динамических характеристик
- •12.2 Идентификация с помощью переходной функции
- •13 Лекция 13. Идентификация линейных динамических объектов. Прямые методы
- •13.1 Графическая идентификация с помощью переходной функции процессов второго порядка
- •13.2 Графическая идентификация с помощью импульсной переходной функции
- •13.3 Идентификация с помощью частотной характеристики
- •14 Лекция 14. Параметрическая идентификация линейных объектов
- •14.1 Статические детерминированные линейные модели
- •14.2 Динамические детерминированные модели
- •15 Лекция 15. Непараметрическая идентификация линейных динамических объектов. Корреляционные функции
- •15.1 Общий подход к определению непараметрической модели
- •15.2 Определение корреляционных функций сигналов
- •16 Лекция 16. Непараметрическая идентификация линейных динамических объектов. Уравнение Винера-Хопфа
- •16.1 Уравнение Винера-Хопфа для определения импульсной переходной функции
- •16.2 Алгебраический метод решения уравнения Винера-Хопфа
- •17 Лекция 17. Методы идентификации, основанные на
- •17.1 Краткие сведения об аппроксимации функций
- •17.2 Сглаживание дискретных значений импульсной переходной функции
- •17.3 Метод идентификации, основанный на предварительной аппроксимации импульсной переходной функции
- •18 Лекция 18. Методы идентификации, основанные на аппроксимации характеристик объектов и сигналов
- •18.1 Метод идентификации, основанный на совместной аппроксимации импульсной переходной и корреляционных функций
- •18.2 Метод идентификации, основанный на аппроксимации сигналов
- •19 Лекция 19. Идентификация нелинейных объектов
- •19.1 Особенности идентификации нелинейных динамических объектов
- •19.2 Методы идентификации, основанные на линеаризации характеристик объектов
- •19.3 Идентификация нелинейных функций априорно известного вида
- •19.4 Идентификация объекта с нелинейностями общего вида
- •20 Лекция 20. Алгоритмы предварительной обработки и оценки идентичности
- •20.1 Алгоритмы оценки стационарности и линейности объекта
- •20.2 Количественная оценка степени идентичности модели реальному объекту
- •Список литературы
6 Лекция 6. Примеры моделирования объектов с сосредоточенными параметрами
Содержание лекции:
- примеры моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.
Цель лекции:
- изучить на примерах основные методы аналитического моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.
Пример 6.1. В продолжение примера 5.1 запишем уравнения для системы в виде каскада из двух резервуаров (см. рисунок 6.1).
| ||
|
|
Здесь М1 и М2 – объемы, Q1, Q2, Q3 - потоки жидкости, F1 и F2 - площади поперечного сечения резервуаров, f1, f2 - площади выходных отверстий, μ1, μ2 - коэффициенты расхода, H1, H2 - уровни, ρ - плотность вещества.
В этом случае вместе с балансовыми соотношениями
, (6.1)
(6.2)
имеют место следующие зависимости
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Эти уравнения являются уравнениями каскада резервуаров. Однако часто надо найти зависимости между конкретными переменными.
Пусть надо найти связь между выходом Q3 и входом Q1. Тогда надо избавиться от переменных Q2, M1, M2, H1, H2 и оставить в уравнениях только Q1 и Q3.
Из (6.3) и (6.6) получим
(6.7)
а из (6.4), (6.5) и (6.7)
. (6.8)
Принимая во внимание (6.7), из (6.2) получим
или
. (6.9)
Подставив в (6.1) М1 и Q2, из (6.8), (6.9) получим:
.
Это нелинейное уравнение второго порядка, Q1 и Q3 - функции времени, остальные – константы.
Порядок уравнения определяется числом емкостей в каскаде.
Если помимо ускорения свободного падения на поток в замкнутом резервуаре действует внешнее давление Р, тогда вместовыражения в качестве начального соотношения используется здесь ρ - плотность жидкости.
Пример 6.2. Динамика материальных потоков. Пусть дана система из двух емкостей для сыпучих материалов. Поток из первой емкости конвейером или насосом переносится во вторую емкость. Состояние системы характеризуется следующими переменными: входной поток вещества в первую емкость Q1, выходной поток первой емкости , входной поток вещества во вторую емкость , выходной поток системы Q3 и количество вещества в емкостях M1 и М2 (см. рисунок 6.2).
Составим уравнения этой системы. Для каждой емкости можем написать уравнения материального баланса:
Чтобы связать эти два уравнения, нужно рассмотреть зависимость между .
| |
|
Рисунок 6.2 - Определение уравнений динамики системы из двух емкостей
Если перенос вещества выполняется с постоянной производительностью, тогда выходной поток первой емкости с запаздыванием полностью поступает во вторую емкость. Время запаздывания τ зависит от расстояния между емкостями и от скорости движения потока по ленте конвейера или по трубе. Значение в момент τ равно значению в момент t - τ, то есть:
.
Тогда уравнения системы преобразуются следующим образом:
.
Это общая форма записи модели рассматриваемого объекта. Если необходимо провести эксперименты с моделью или выполнить конкретные расчеты, естественно, необходимо задать законы изменения входного и выходного потоков. Например, пусть требуется получить в числовом виде уравнения системы бункер-конвейер. Освобождение бункера от вещества выполняется конвейером длинойl=50 м, скорость ленты θ=1 м/с=3600м/час, входной поток Q1 = 100т/час=const.
Уравнение бункера: (М – масса вещества в бункере). Уравнение конвейера: Q3 (t)= Q2 (t – τ) = Q2 (t – 50/3600) или Q2 (t)= Q3(t + 50/3600). Избавившись от промежуточной переменной Q2, получим искомое уравнение:
.