- •1 Лекция 1. Понятие моделирования. Цели моделирования
- •2 Лекция 2. Основные термины в математическом моделировании. Виды математических моделей
- •2.1 Основные термины в математическом моделировании
- •2.2. Основные виды математических моделей
- •3 Лекция 3. Этапы процесса моделирования. Общие принципы построения моделей
- •3.1 Этапы процесса моделирования
- •3.2 Общие принципы построения моделей
- •4 Лекция 4. Аналитические методы определения характеристик объектов
- •4.1 Основные уравнения динамики
- •4.2 Упрощение уравнений динамики
- •4.3 Линеаризация уравнений
- •5 Лекция 5. Аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами
- •6 Лекция 6. Примеры моделирования объектов с сосредоточенными параметрами
- •7 Лекция 7. Объекты с сосредоточенными параметрами. Динамика теплообменных процессов
- •8 Лекция 8. Аналитические методы определения характеристик тепловых объектов
- •9 Лекция 9. Моделирование объектов с распределенными параметрами
- •10 Лекция 10. Общие сведения о проблеме идентификации
- •10.1 Основные понятия
- •10.2 Классификация методов идентификации
- •11 Лекция 11. Постановка задачи идентификации
- •11.1 Объект идентификации
- •11.2 Постановка задачи идентификации
- •12 Лекция 12. Идентификация линейных динамических объектов. Прямые методы
- •12.1 Прямые методы определения динамических характеристик
- •12.2 Идентификация с помощью переходной функции
- •13 Лекция 13. Идентификация линейных динамических объектов. Прямые методы
- •13.1 Графическая идентификация с помощью переходной функции процессов второго порядка
- •13.2 Графическая идентификация с помощью импульсной переходной функции
- •13.3 Идентификация с помощью частотной характеристики
- •14 Лекция 14. Параметрическая идентификация линейных объектов
- •14.1 Статические детерминированные линейные модели
- •14.2 Динамические детерминированные модели
- •15 Лекция 15. Непараметрическая идентификация линейных динамических объектов. Корреляционные функции
- •15.1 Общий подход к определению непараметрической модели
- •15.2 Определение корреляционных функций сигналов
- •16 Лекция 16. Непараметрическая идентификация линейных динамических объектов. Уравнение Винера-Хопфа
- •16.1 Уравнение Винера-Хопфа для определения импульсной переходной функции
- •16.2 Алгебраический метод решения уравнения Винера-Хопфа
- •17 Лекция 17. Методы идентификации, основанные на
- •17.1 Краткие сведения об аппроксимации функций
- •17.2 Сглаживание дискретных значений импульсной переходной функции
- •17.3 Метод идентификации, основанный на предварительной аппроксимации импульсной переходной функции
- •18 Лекция 18. Методы идентификации, основанные на аппроксимации характеристик объектов и сигналов
- •18.1 Метод идентификации, основанный на совместной аппроксимации импульсной переходной и корреляционных функций
- •18.2 Метод идентификации, основанный на аппроксимации сигналов
- •19 Лекция 19. Идентификация нелинейных объектов
- •19.1 Особенности идентификации нелинейных динамических объектов
- •19.2 Методы идентификации, основанные на линеаризации характеристик объектов
- •19.3 Идентификация нелинейных функций априорно известного вида
- •19.4 Идентификация объекта с нелинейностями общего вида
- •20 Лекция 20. Алгоритмы предварительной обработки и оценки идентичности
- •20.1 Алгоритмы оценки стационарности и линейности объекта
- •20.2 Количественная оценка степени идентичности модели реальному объекту
- •Список литературы
4.2 Упрощение уравнений динамики
Системы уравнений динамики, как правило, существенно нелинейны, и аналитическое решение их в общем виде невозможно. Поэтому в зависимости от специфики задач проводятся упрощения, направленные на исключение отдельных связей, накладываемых уравнениями и краевыми условиями. При этом должны сохраняться существенные черты процесса.
Наиболее простой (в смысле математического решения) является статическая задача. Производные по времени и координатам равны 0, и система дифференциальных уравнений сводится к алгебраической (стационарные режимы объектов с сосредоточенными параметрами).
Следующей по сложности является стационарная задача. В уравнениях производная по времени равна нулю, следовательно, уменьшается количество независимых координат (мы не рассматриваем анализ таких задач).
Упрощение математической формулировки нестационарных задач достигается за счет сокращения числа взаимодействующих систем, уменьшения количества уравнений, исключения некоторых связей в отдельных уравнениях, снижения числа пространственных координат и линеаризации уравнений.
Всякое исключение какого-либо дифференциального уравнения снижает порядок системы. То есть с математической точки зрения система оказывается незамкнутой. Исключенное уравнение необходимо заменить алгебраической зависимостью, приближенно отражающей ход процесса. Например, соответствующие параметры могут быть приняты постоянными.
Во многих практических случаях закономерности движения реального потока находятся на основе экспериментальных данных. При экспериментальном исследовании определяются некоторые коэффициенты, так или иначе отражающие реальную структуру потока, то есть распределения скорости, температуры, плотности и другие параметры. Это коэффициенты трения, теплоотдачи, относительные скорости фаз в двухкомпонентных смесях и т.д. Все они представляют собой интегральные характеристики потока, которые с определенным приближением отражают обмен количеством движения, теплотой, веществом, существующий в реальном потоке. С помощью указанных коэффициентов и усредненных по сечению потока параметров, выражаются передача теплоты, гидравлическое сопротивление, распределение фаз. Связи между ними также находятся из опыта.
Использование эмпирических коэффициентов и упомянутых зависимостей позволяет отказаться от учета реальной трехмерности потока и одни уравнения упростить, а другие – исключить совсем. Такие упрощения допустимы, так как эмпирические зависимости в определенной мере отражают реальную трехмерность потока.
В результате указанных посылок для расчета динамических характеристик можно использовать одномерную модель, а в некоторых случаях – и модель с сосредоточенными параметрами.
В одномерных моделях параметры изменяются лишь вдоль одной координаты, направленной вдоль оси потока. По сечению канала параметры постоянны и равны среднему значению.
В моделях с сосредоточенными параметрами все параметры системы не зависят от пространственных координат и являются лишь функциями времени. Производные по пространственной координате заменяются отношением разности значений функций между входом и выходом к полной длине канала.
В устойчивых системах переходные процессы протекают одинаково во всех однотипных параллельно включенных элементах. Это дает возможность при исследовании переходных процессов рассматривать не всю систему в целом, а один из элементов. Например, при исследовании динамики многоканальных теплообменников рассматривать движение в одном канале.