- •1 Лекция 1. Понятие моделирования. Цели моделирования
- •2 Лекция 2. Основные термины в математическом моделировании. Виды математических моделей
- •2.1 Основные термины в математическом моделировании
- •2.2. Основные виды математических моделей
- •3 Лекция 3. Этапы процесса моделирования. Общие принципы построения моделей
- •3.1 Этапы процесса моделирования
- •3.2 Общие принципы построения моделей
- •4 Лекция 4. Аналитические методы определения характеристик объектов
- •4.1 Основные уравнения динамики
- •4.2 Упрощение уравнений динамики
- •4.3 Линеаризация уравнений
- •5 Лекция 5. Аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами
- •6 Лекция 6. Примеры моделирования объектов с сосредоточенными параметрами
- •7 Лекция 7. Объекты с сосредоточенными параметрами. Динамика теплообменных процессов
- •8 Лекция 8. Аналитические методы определения характеристик тепловых объектов
- •9 Лекция 9. Моделирование объектов с распределенными параметрами
- •10 Лекция 10. Общие сведения о проблеме идентификации
- •10.1 Основные понятия
- •10.2 Классификация методов идентификации
- •11 Лекция 11. Постановка задачи идентификации
- •11.1 Объект идентификации
- •11.2 Постановка задачи идентификации
- •12 Лекция 12. Идентификация линейных динамических объектов. Прямые методы
- •12.1 Прямые методы определения динамических характеристик
- •12.2 Идентификация с помощью переходной функции
- •13 Лекция 13. Идентификация линейных динамических объектов. Прямые методы
- •13.1 Графическая идентификация с помощью переходной функции процессов второго порядка
- •13.2 Графическая идентификация с помощью импульсной переходной функции
- •13.3 Идентификация с помощью частотной характеристики
- •14 Лекция 14. Параметрическая идентификация линейных объектов
- •14.1 Статические детерминированные линейные модели
- •14.2 Динамические детерминированные модели
- •15 Лекция 15. Непараметрическая идентификация линейных динамических объектов. Корреляционные функции
- •15.1 Общий подход к определению непараметрической модели
- •15.2 Определение корреляционных функций сигналов
- •16 Лекция 16. Непараметрическая идентификация линейных динамических объектов. Уравнение Винера-Хопфа
- •16.1 Уравнение Винера-Хопфа для определения импульсной переходной функции
- •16.2 Алгебраический метод решения уравнения Винера-Хопфа
- •17 Лекция 17. Методы идентификации, основанные на
- •17.1 Краткие сведения об аппроксимации функций
- •17.2 Сглаживание дискретных значений импульсной переходной функции
- •17.3 Метод идентификации, основанный на предварительной аппроксимации импульсной переходной функции
- •18 Лекция 18. Методы идентификации, основанные на аппроксимации характеристик объектов и сигналов
- •18.1 Метод идентификации, основанный на совместной аппроксимации импульсной переходной и корреляционных функций
- •18.2 Метод идентификации, основанный на аппроксимации сигналов
- •19 Лекция 19. Идентификация нелинейных объектов
- •19.1 Особенности идентификации нелинейных динамических объектов
- •19.2 Методы идентификации, основанные на линеаризации характеристик объектов
- •19.3 Идентификация нелинейных функций априорно известного вида
- •19.4 Идентификация объекта с нелинейностями общего вида
- •20 Лекция 20. Алгоритмы предварительной обработки и оценки идентичности
- •20.1 Алгоритмы оценки стационарности и линейности объекта
- •20.2 Количественная оценка степени идентичности модели реальному объекту
- •Список литературы
14 Лекция 14. Параметрическая идентификация линейных объектов
Содержание лекции:
- параметрическая идентификация линейных объектов
Цель лекции:
- изучить методы параметрической идентификации линейных объектов (статические и динамические детерминированные объекты).
Рассматриваем линейные объекты или объекты, которые с достаточной мерой приближения можно принять за линейные. В параметрическом случае модель определяется набором параметров, которые необходимо оценить в процессе идентификации. Чтобы уяснить процедуру минимизации функционала невязки, рассмотрим вначале статический детерминированный случай.
14.1 Статические детерминированные линейные модели
Модель линейного объекта с n входами и m выходами имеет единственную структуру и описывается системой линейных алгебраических уравнений
Идентифицируются m(n+1) коэффициентов cij, i =1,..., m; j = 0,…, n.
В векторном виде эта система имеет вид
где X = (x1, x2,,…, xn) - вход; Y = (y1, y2,,…, yn) – выход; C0 = (c10, …,cm0);
Информацию об объекте можно представить в виде {Xj, Yj k}, k =1,…,m, .
Идентифицируются C0 и C.
Рассмотрим случай n>1, m=1. Случай m>1 сводится к m-кратному повторению рассматриваемого случая.
Итак, или
(n+1) неизвестных коэффициента подлежат оценке на основе информации {Xj, Yj}, j =1,…,N, где Xj=(x1j, x2j, …, xnj) - j-е состояние входа, Yj – реакция на этот вход.
Обычный подход к решению этой задачи - приравнивание выходов объекта и модели
, (14.1)
Получили N уравнений с (n+1) неизвестными (систему уравнений идентификации). Эта система имет единственное решение, если ранг матрицы
|
(14.2)
Это возможно в том случае, если найдены (n+1) линейно-независимых строк этой матрицы. Поэтому из Nпар следует выбрать (n+1) линейно-независимую строку:
.
В этом случае решение (14.1) определяет точное значение идентифицируемых параметров (если объект действительно линеен).
Однако при этом методе не используется вся исходная информация. Используем ее. Введем невязку:
(14.3)
где - локальная невязка (на i-той паре).
Задачу оценки параметров С можно теперь представить как задачу минимизации невязки (14.3), то есть свести к системе линейных алгебраических уравнений:
(14.4)
Определитель этой системы не равен нулю, если ранг (14.2) равен (n+1).
Решения систем (14.1) и (14.4) совпадают. Зачем же использовать этот более сложный метод, тем более, что (14.1) требует лишь (n+1)точку? Зачем остальныеN – (n+1) точек? Если объект действительно детерминированный и линейный, то эти точки не нужны и второй способ не стоит применять. Однако, возможно, что объект почти линеен. Тогда по двум точкам получается очень грубая модель. Второй способ как бы «спрямляет» объект.
Если же ранг системы (14.4) меньше (n+1)? В этом случае:
1. Повторить измерения (может быть, вначале состояния системы были недостаточно разнообразны). Если опять не получится, то изменить структуру модели.
2. Понизить число идентифицируемых параметров, то есть исключить рассмотрение одного из входов, например, того, который мало изменяется. И до тех пор, пока ранг (14.2) не совпадет с ее размерностью.