8 Лекция 8. Аналитические методы определения характеристик тепловых объектов

 

Содержание лекции:

-   аналитические методы моделирования тепловых объектов с сосредоточенными параметрами..

 

Цель лекции:

-   изучить на примерах основные методы аналитического моделирования тепловых объектов с сосредоточенными параметрами.

 

Рассмотрим конкретные теплоэнергетические объекты. Исходными уравнениями являются приведенные выше уравнения материального и теплового баланса.

Пример 8.1. Необогреваемый участок парогенератора (коллектор, соединительный паропровод). Входная величина – температура среды на входе в участок, выходная - температура среды на выходе из участка. Давление среды в участке предполагается постоянным, отвод тепла в окружающую среду отсутствует.

Примем обозначения: D_c – расход среды; – энтальпия среды на входе и выходе; Q_м – тепловой поток к металлу участка; I_c – энтальпия среды участка; I_м – энтальпия металла участка; G_c и G_м – масса среды и металла на участке; i_м – энтальпия металла; α₂ – коэффициент теплоотдачи на внутреннюю поверхность H₂ участка;  и – температура среды на входе и выходе участка; – температура металла; с_р  и с_м – удельные теплоемкости среды и металла.

Уравнение теплового баланса для рабочей среды:

.  

Уравнение теплового баланса для металла:

.

         Учитывая, что I_c = i’’_c· G_c, I_м = i_м· G_м, Q_м = α₂·H₂· (Θ’’_c - Θ_м), ∆i = с·∆ Θ,

после перехода к отклонениям переменных и вычитания уравнений стационарного режима, получим дифференциальные уравнения для линейной модели участка:

                      (8.1)          .                                                             (8.2)

Преобразуем по Лапласу уравнения (8.1), (8.2). Для этого обе части уравнения умножим на e^-st и проинтегрируем от 0 до ∞, имея ввиду, что изображения функции и ее производной (при нулевых начальных условиях) связаны следующим свойством

y(t)÷Y(s), y'(t)÷sY(s).

Примем ∆Θ’’_c ÷ Z(s), ∆Θ’_c ÷Y(s) , ∆Q_м ÷X(s). Тогда

                   Из второго уравнения: .

Из первого уравнения:

                    .

Разделим на D_cc_p. Получим

             .

Отсюда                                                                                                                             .

Постоянная времени физически соответствует времени заполнения средой участка при данном расходе среды и обычно мала. В практических расчетах ее принимают равной 0, и передаточная функция принимает более простое выражение:

      где      .

          Пример 8.2. Теплообменник смешения (коллектор впрыска). Входными переменными являются расход и температура среды на входе, расход впрыскиваемой воды; выходная величина – температура среды на выходе. Расход среды на выходе равен сумме расходов среды на входе и расхода среды на впрыск, температура впрыскиваемой воды предполагается постоянной.

Уравнение теплового баланса для рабочей среды

где   - расход среды на входе и выходе участка,   - расход воды на впрыск,     - энтальпия впрыскиваемой воды.

Аналогично предыдущему после перехода к отклонениям переменных и вычитания уравнения стационарного режима получим линейное дифференциальное уравнение для рабочей среды

            (8.3)

где  - расход среды на входе и выходе  участка в стационарном режиме, - энтальпия среды на входе участка в стационарном режиме, - энтальпия впрыскиваемой воды в стационарном режиме.

Для металла сохраняется в силе уравнение (8.2).

Из уравнений (8.2) (8.3) после преобразований по Лапласу и аналогичных предыдущему упрощений получим передаточные функции по различным каналам:

а) найдем передаточную функцию по каналу :          Отсюда

где .

Поделив на     и принимая, что постоянная времени   мала, имеем:

         где    

          б) передаточная функция по каналу

         равна      где ;

          в) по каналу

         равна     где .

Пример 8.3. Паровая емкость. Предполагается, что сопротивление емкости сосредоточено на ее выходе и энтальпия среды в переходном процессе остается без изменения. Давление среды за емкостью    поддерживается постоянным с помощью регулятора, задание которому может изменяться. Изменение давления среды в емкости не влияет на расход подводимого вещества. Входными величинами являются расход среды на входе и давление среды на выходе, выходными – расход среды на выходе и давление в емкости.

Уравнение материального баланса для среды

.                                                                      (8.4)

Расход среды через сосредоточенное сопротивление определяется выражением

                                                               (8.5)

где    - давление среды перед сопротивлением и за ним.

После перехода к отклонениям переменных и линеаризации с учетом, что G_c =ρ_c ·V   и   , получим уравнения линейной модели системы

;                                      (8.6)

                                         (8.7)

где V - объем среды в участке, ρ_c - плотность среды,     - давление среды перед и за сопротивлением в стационарном режиме, - расход среды в стационарном режиме.

После преобразования по Лапласу из последних уравнений можно получить передаточные функции по каналам

,  ,  

(рекомендуется студентам получить самостоятельно).