17.2 Сглаживание дискретных значений импульсной переходной функции

          Наиболее простой и появившейся ранее других формой сглаживания является аппроксимация полученного решения системы алгебраических уравнений, эквивалентных уравнению Винера-Хопфа.

          В результате решения системы уравнений (16.5) численным методом, получим дискретные значения g₀, g₁,…, g_mимпульсной переходной функции g(t) в равноотстоящих точках 0, 1,…, n. Полученную последовательность дискретных величин представим с помощью какого-либо аппроксимирующего полинома

                                                                                                        (17.6)

          где   {φ_k(τ)}- какая-либо система аппроксимирующих ортогональных функций.

          Коэффициенты аппроксимации определяются как

                             .                                                                   (17.7)

          Основные требования, предъявляемые к аппроксимирующей системе функций:

          - функции {φ_k(τ)}должны быть абсолютно интегрируемы;

          - функции {φ_k(τ)}должны быть достаточно гладкими для регуляризации решения уравнения идентификации;

          - система функций {φ_k(τ)} должна быть  линейно-независимой;

          - система функций {φ_k(τ)} должна быть ортогональной;

          - система функций {φ_k(τ)} должна гарантировать быстроту

аппроксимации с ростом степени полинома N;

          - функции {φ_k(τ)} должны быть просто реализуемы с помощью

несложных вычислений.

          Возникает вопрос о выборе степени Nаппроксимирующего полинома. Этот вопрос очень сложен и в настоящее время не решен до конца. При решении этой задачи возможны следующие подходы:

          1. В ряде случаев характер импульсной переходной функции известен. Это позволяет определить степень Nаппроксимирующего полинома (17.6) с учетом конкретного вида аппроксимирующих функций {φ_k(τ)}.

          2. Если известна дисперсия ошибки измерения взаимно-корреляционной функции R_yx значениеN можно определить по широко принятому в математической статистике критерию χ².

          3. Если дисперсия ошибки измерения R_yxнеизвестна, значение Nможно определить по известному из математической статистики критерию Фишера.

          Однако следует отметить, что при больших значениях N в силу ошибок вычисления критерии Пирсона и Фишера становятся малонадежными.

          4. Довольно общий подход к определению степени аппроксимирующего полинома N основан на принципе Гаусса. Значение N находится из условия минимума по N функционала

                                                                                     (17.8)

где - результат подстановки полинома (17.7) в систему уравнений (17.6) вместо импульсной переходной функции g(t). То есть минимизируется дисперсия R_yх.

 

17.3 Метод идентификации, основанный на предварительной аппроксимации импульсной переходной функции

          Более эффективный метод решения задачи идентификации состоит в предварительной аппроксимации импульсной переходной функции объекта g(t) и последующем определении коэффициентов Фурье этого разложения по результатам наблюдений за входными и выходными сигналами. Аппроксимируем импульсную переходную функцию суммой (17.6), где {φ_k(τ)} - ортогональны. Коэффициенты разложения пока неизвестны. Минимизируем отклонение выходных сигналов объекта y(t) и модели y^*(t), где y^*(t)определяется из уравнения свертки

                                      .                                                       (17.9)

Подставив в это уравнение выражение для импульсной переходной функции (17.6), имеем

         (17.10)

Критерий идентификации имеет вид

  .                 (17.11)

Отсюда

.                  (17.12)

Наилучший выбор имеет место при .

В итоге получим систему

      (17.13)

для определения неизвестных коэффициентов разложения.

Как правило, на практике N<<m, то есть система (17.13) имеет существенно меньший порядок, чем (16.5)  и хорошо обусловлена в силу гладкости системы функций {φ_k(τ)}. Однако проблема выбора степени Nаппроксимирующего полинома остается.