19.4 Идентификация объекта с нелинейностями общего вида

Модель в простейшем одномерном случае выражается нелинейным дифференциальным уравнением:

                                   

где- нелинейная скалярная функцияp+l+1 аргументов, которую необходимо идентифицировать по наблюдениям .

В векторной форме это уравнение имеет вид:

                                   

где  - векторная функция двух  векторных аргументов.

Наблюдения сведем к   

(дифференцируя исходные функции и используя аппарат сглаживания).

          19.4.1 Функциональные модели

Пусть F является известной функцией с неизвестными параметрами. В этом случае система уравнений

                                                                                                                                

интегрируется численно (например, методами Рунге-Кутта) при заданных начальных условиях и фиксированных значениях идентифицируемых параметров .  

Полученное решение  сопоставляется с наблюдениями  и получается функция невязки

                                                                                                                 

минимизация которой решает задачу идентификации.

Если структура модели выбрана в классе дифференцируемых функций, то эту задачу решает система трансцендентных уравнений (решение которой тоже непростая задача):

                                ,                                                             

где [,] – скалярное произведение.

В противном случае можно использовать поисковые методы минимизации. Для этого строится рекуррентная процедура

                                

  где  - шаг, определяемый алгоритмом поиска. 

Для реализации поиска необходимо лишь значение функцииF при различных ,поэтому есть возможность создавать модель F не только в классе аналитических описаний (поэтому такой подход называется функциональным).

 

19.4.2 Модели, линейные относительно оцениваемых параметров

Они являются частным случаем функциональных моделей и образуются в результате разложения искомой функции по заданной системе функций:

                                                                                                                    

где - заданная система функций, она определяется на стадии структурной идентификации. Аппроксимацию можно провести, например, с помощью полиномов. Однако, во всех случаях идентификацию можно проводить только в предположении некоторого специфического типа нелинейной аппроксимирующей функции, параметры которой подлежат идентификации. Задача поиска коэффициентов разложения решается известными методами.

 

 

20 Лекция 20. Алгоритмы предварительной обработки и оценки идентичности

 

Содержание лекции:

- оценивание свойств изучаемого объекта; оценка степени идентичности модели реальному объекту

 

Цель лекции:

-    изучитьалгоритмы  оценки стационарности и линейности объекта; степени идентичности модели реальному объекту.

 

20.1 Алгоритмы оценки стационарности и линейности объекта

  Для корректного использования алгоритмов идентификации требуется предварительная оценка таких свойств объекта, как стационарность/ нестационарность, линейность/нелинейность. Эти задачи решаются с помощью алгоритмов предварительной обработки данных. В общем случае исходными данными служат массивы «выборки» квантованных значений входных и выходных сигналов объекта, измеренных через определенные интервалы дискретизации во времени. Длина реализации, подвергающейся испытанию на стационарность должна быть достаточной, чтобы в ней отразился возможный тренд (нестационарность).

Объект исследования считается стационарным, если стационарному случайному сигналу объекта соответствует стационарный сигнал на его выходе. Как известно, случайный процесс  называется строго стационарным, если для любых t₁,…,t_n и τ распределение случайного вектора (x[t₁+τ],…,x[t_n+τ]) не зависит от τ . Для большинства реальных приложений достаточно проверить слабую стационарность процесса, то есть тот факт, что средние значения и автокорреляционная функция не зависят от времени. 

Опишем алгоритм проверки стационарности:

1.     Для оценки стационарности процесса реализацию разбивают на nинтервалов равной длительности. Подсчитывают средние значения и средний квадрат для каждого изn интервалов и поученные значения располагают в порядке возрастания номеров интервалов:

<¹x>, <²x>, … , <ⁿx>, <¹x²>, <²x²>, … , <ⁿx²>,                  

где < > - осреднение по времени.

2.     Каждый из этих последовательностей испытывают на тренд известными методами серий и тренда или методами разложения функциональных рядов.

3.     Hа основе анализа результатов, полученных при применении этих методов, принимается решение о стационарности объекта с уровнем значимости 5%.

Вначале проверке на стационарность подвергается реализация входного сигнала. Если он оказывается нестационарным, дальнейшая статистическая обработка не производится. В противном случае на стационарность проверяется реализация выходного сигнала и делается суждение о стационарности или нестационарности объекта.

Суждение о линейности объекта осуществляется на основании оценки вида закона распределения реализаций, исходя из следующих положений:

- из теории прохождения сигнала через линейную систему известно, что если входной сигнал подчиняется нормальному закону распределения, то и выходной сигнал тоже распределен нормально;

- линейная динамическая система обладает свойством нормализации закона распределения выходного сигнала в тех случаях, когда распределение сигнала на входе отличается от нормального;

- при прохождении нормально распределенного сигнала через нелинейную систему закон распределении искажается.

Описанные ситуации отражены в следующей таблице:

Закон распределения сигнала			Тип объекта
Входной сигнал	Выходной сигнал
Нормальный	Нормальный	Линейный
Нормальный	Отличный отнормального	Нелинейный
Отличный отнормального	Нормальный	Линейный

Таким образом, задача оценки линейности объекта сводится к проверке гипотезы о нормальности законов распределения исходных реализаций. В случае, когда входные и выходные сигналы объекта имеют распределение, отличное от нормального, вывод о линейности или нелинейности объекта сделать нельзя. В этом случае оценка линейности объекта осуществляется на этапе идентификации.

Проверка закона распределения на нормальность проводится стандартными методами математической статистики.