13 Лекция 13. Идентификация линейных динамических объектов. Прямые методы

 

Содержание лекции:

-   идентификация с помощью сигналов специального вида.

 

Цель лекции:

-    изучить методы идентификации линейных объектов  с помощью переходной, импульсной переходной функции и частотной характеристик.

 

13.1 Графическая идентификация с помощью переходной функции процессов второго порядка

          Объект второго порядка описывается уравнением

                                                                         (13.1)

Входное воздействие является ступенчатой функцией х = а. Вычислим постоянные T₁, T₂, k при условии, что при t>0  входное воздействие является единичным воздействием x=a=1.

Как и в предыдущем случае, вначале запишем общее решение уравнения:

                   .                                                (13.2)

Так как при t=0, y=0,  то из этих начальных условий найдем постоянные интегрирования

          ,

          .

Отсюда  

Тогда искомое частное решение:

           .                               (13.3)

Теперь подставив в это выражение координаты трех точек графика можно получить 3 уравнения для нахождения искомых величин. Эти уравнения трансцендентные, потому найти численное решение очень трудно. Можно опять применить метод, который был применен для объекта первого порядка (использовать не две, а несколько точек графика)..

13.2 Графическая идентификация с помощью импульсной переходной функции

          Процедура идентификации линейных систем с использованием их импульсных переходных функций очень похожа на процедуру идентификации с помощью переходных функций. Для такой идентификации требуется приложить импульсный сигнал (дельта-функцию) на вход идентифицируемой системы. Поэтому идентификация проводится вне процесса управления.

Преобразование Лапласа для единичного импульса равно 1: X(s) = 1. Тогда преобразование Лапласа для выхода Y(s) = W(s) и

Y(t) = L^-1[Y(s)] = L^-1[W(s)] = g(t).

То есть импульсная переходная функция линейной системы идентична обратному преобразованию Лапласа ее передаточной функции. Этот результат очень важен для идентификации.

Систему первого порядка можно описать передаточной функцией       

            .

Тогда импульсная переходная функция записывается в виде

                       .                                                                   (13.4)

Параметры T и K определяются по графику: в начальной точке  ,   а время, при котором g(t) достигает, равно T

.                                                             (13.5)

Постоянную  T можно получить также, проводя касательную из начала графика g(t) до ее пересечения с осью времени, поскольку, согласно уравнению

 имеем  и при t = T  получим    (из уравнения касательной).

На практике входной сигнал в системе является некоторым приближением к импульсу, и g(t) никогда не начинается с величины . В этом случае  максимальный наклон в окрестности  t=0 экстраполируется в обратном направлении к t=0 так, чтобы была достигнута величина .

 

13.3 Идентификация с помощью частотной характеристики

Частотные характеристики широко используются для анализа и синтеза систем регулирования. Но они также дают возможность определения уравнений объекта. Частотный метод использует амплитудно-частотные характеристики. Идентификация с помощью частотной характеристики основана на применении  синусоидальных сигналов или сигналов, аппроксимирующих синусоидальные, частота которых изменяется в рассматриваемом интервале.

Эти методы обладают рядом преимуществ: большой точностью, так как гармонические входные сигналы ортогональны в разных точках измерения и, таким образом, каждая точка частотных характеристик определяется независимо от других; простотой обработки; возможностью проведения измерений в замкнутой системе; малым влиянием шумов.

Недостатки: сложность и большое количество оборудования для проведения измерений на низких частотах; большое время измерения; необходимость преобразования сигналов; условия измерения и параметры исследуемого объекта успевают измениться за время наблюдения.

Как известно, при преобразовании по Фурье отношения входа и выхода, имеем

                   Y(jω) = W(jω)·X(jω)

где W(jω) – передаточная функция системы при частоте ω. Это комплексная величина

W(jω) = α(ω) + j·β(ω);

│W(jω)│= ;

φ(ω) = arg[W(jω)]= .

          Если на вход объекта подается синусоидальное воздействие A₀sin(ωt) на различных частотах, то установившееся измеренное значение выходного сигнала

y(t) = A₁sin[ωt + φ(ω)] + n(t),

где n(t)  - ошибка измерения, =│W(jω)│, φ = Arg[W(jω)].

Частотная характеристика W(jω) определяется путем подачи синусоидальных входных сигналов A₀sin(ωt) на различных частотах ω и записи соответствующих выходных сигналов A₁sin[ωt + φ]. С целью получения необходимой частотной характеристики, величины A₁/A₀ и φ определяются для каждой рассматриваемой частоты ω. То есть по записям входного и выходного сигналов определяют отношение амплитуд на частоте ω_i и получают |W(jω_i)|. Фазовый сдвиг φ(ω_i) получают из сравнения положения максимумов кривых x(t) и y(t).

Рассмотрим на примере процедуру идентификации объекта, в частности, определение передаточной функции на основе экспериментальных частотных характеристик. В результате проведенных экспериментов, измерив входные и выходные сигналы, а затем определив, как описано выше  амплитудные А(ω)  и фазовые φ(ω) характеристики объекта, можем записать

P(ω_i) = A(ω_i)·cosφ(ω_i), Q(ω_i) = A(ω_i)·sinφ(ω_i)

для каждой рассматриваемой частоты.

Напомним, что структурные параметры модели (в данном случае порядок уравнения) определяются на стадии структурной идентификации. Задаемся некоторым (предполагаемым) порядком уравнения. Для определенности предположим, что объект третьего порядка. Тогда

                                                         (13.6)

Необходимо определить коэффициенты передаточной функции a_i, b_j.                        Заменим p на jω и запишем передаточную функцию в виде суммы действительной и мнимой частей   

.

Отсюда

           .

Приравнивая коэффициенты при мнимых и действительных частях этих комплексных выражений, получим:

           

          .

Эти уравнения справедливы для всех значений ω.

Подставляя в эти уравнения различные значения частот ω_i и соответствующие им P(ω_i), Q(ω_i), получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов передаточной функции. Так как в экспериментальных измерениях, а следовательно, и в функциях P(ω_i), Q(ω_i), вычисленных на основе этих измерений, имеются ошибки, то вычисленные коэффициенты отличаются от действительных. Для уточнения значений коэффициентов, вычисления повторяются для других частот, и берется среднее из двух вычислений.

Если порядок объекта выше предполагаемого, то в повторных вычислениях значения коэффициентов будут сильно отличаться от первых. То есть сильная разница коэффициентов указывает на то, что порядок объекта занижен (но не указывает на ошибку эксперимента).

При применении  полигармонических входных сигналов возрастает помехоустойчивость. Так как спектр частот входного сигнала известен, по измеренным значениям входного и выходного сигналов могут быть получены коэффициенты Фурье для всех интересующих гармоник.