15.2 Определение корреляционных функций сигналов

Для оценок корреляционных функций надо выполнить большое число экспериментов, записать в каждом из них реализации случайной функции, затем в каждом сеченииt  определить среднее значение случайной функции. То есть определить среднее по реализациям.

Желательно определять статистические характеристики случайных процессов в результате  не многих, а одного опыта, то есть оценить в среднем по времени на [0, T].

          Стационарная случайная функция, для которой среднее по времени совпадает со средним по множеству, называется эргодической (по отношению к математическому ожиданию или корреляционной функции). Гипотеза эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением одной реализации по времени.

Среднее значение произведения значенийдвух случайных процессов в различные моменты времени  t₁ иt₂ = t₁ + τ называюткорреляционной (иногдаавтокорреляционной) функцией. Для стационарного случайного процесса корреляционная функция зависит лишь от  τ = t₂ - t₁:

                                     (15.2)

причем R_xx(τ) =R_xx(-τ) .

Корреляционная функция характеризует степень связи между значениями случайного процесса в различные моменты времени. По мере увеличения интервала времени τкорреляционная функция убывает – связь между более удаленными друг от друга во времени значениями случайного процесса уменьшается. При τ = 0 (t₁ = t₂) для центрированного случайного процесса значение корреляционной функции равно дисперсии.

Среднее значение произведения значений двух случайных процессов для различных моментов времени t₁ и t₂ = t₁ + τназывают взаимнойкорреляционнойфункцией. Для стационарных случайных процессов взаимная корреляционная функция зависит только от τ = t₂ - t₁:

         (15.3)

Взаимная корреляционная функция характеризует степень связи между значениями двух случайных процессов в различные моменты времени. С увеличением интервалаτ значение взаимной корреляционной функции также убывает.

          Ввиду того, что объем измерений ограничен вместо этих функций используют их оценки:

                                                  (15.4)

где 0≤τ≤T_R, T_R – период времени, который определяется из условия, что при

τ > T_R корреляционная функция не выходит из заданного (обычно 5%) коридора:  │R(τ )│ ≤ 0.05R_max  (корреляцию меньше 5% естественно считать несущественной).

Очевидно, что T_Rразлично для R_xx(τ) иR_xy(τ). Но так как нас интересуют динамические свойства объекта, а они отражаются в R_xy(τ), то можно считать, что T_R=T_Rxy. Таким образом, исходная информация преобразуется к паре корреляционных функций: < ,,0≤τ≤T_R>.

При вычислениях с помощью компьютеров, интервалT разбивается на N  равных отрезков длиной ∆t,  τ и  принимают дискретные значения, кратные ∆t:

τ = k·∆t,  k = 0, 1, 2, 3…,  t = k_t ·∆, k_t =1, 2, 3…

Тогда интеграл можно заменить приближенно следующей суммой:

         .

Чаще используется следующая формула:

                     (15.5)

k=0,1,…, N, – интервал сдвига (k=0, …, N-1), N – число измеряемых координат корреляционной функции, x – среднее значение х на интервале.

Точность определения корреляционной функции по (15.5) определяется длительностью интервала наблюденияT, максимальным временем  корреляцииτ_max, шагом квантования по времени ∆t, числом ординат корреляционной функции, определяемых на интервале 0<=τ<=τ_max. Под максимальным временем корреляции понимается такое τ, начиная с которого

                                              |R(τ)|<= 0,05·R_max.

          Общая схема определения корреляционной функции:

1.   Реализации исследуемых случайных процессов центрируются.

2.   Производится предварительный частотный анализ, в результате которого грубо оценивается высшая f_max и низшаяf_min гармоники в исследуемых сигналах.

3.   Определяется максимальное время корреляции сигнала:

                                         τ_max=.

Выбирается интервал вычисления корреляционной функции в соответствии с требуемой точностью. Так, для определения корреляционной функции с точностью 2% для центрированных реализаций случайного процесса

                                         T ≈16·τ_max 

На основании теоремы Котельникова выбирается шаг квантования по времени:

                                        ∆t  <= .

Выбирается количество уровней квантования. Для точности 2% - 14 уровней.

4.   Оценивается число вычисляемых координат  .

5.   Выполняется расчет по алгоритму (15.5).