20.2 Количественная оценка степени идентичности модели реальному объекту

При построении математической модели приходится учитывать только основные, определяющие факторы и отбрасывать второстепенные. К основным факторам относят те входные переменные, которые оказывают доминирующее влияние на выходную переменную. Естественно, что полученное математическое описание всегда беднее реального объекта и отражает только те его основные закономерности, которые необходимы для решения конкретной задачи. Причем для решения различных задач одного и того же объекта могут быть построены различные математические описания.

Кроме того, математическое описание различных процессов может быть одинаковым, несмотря на то, что физическая природа этих объектов различна. Например, одними и теми же дифференциальными уравнениями описываются различные физические, химические, механические и т.д. системы. Тогда можно говорить о степени изоморфности (соответствия, подобия, адекватности) модели объекту. Так как мы рассматриваем модели, построенные методами идентификации, будем использовать термин «степень идентификации».

Реальные процессы представляют собой сложные объекты с большим количеством взаимосвязанных переменных, причем учесть все невозможно. Поэтому возникает вопрос, какие и сколько переменных должно быть включено в модель, а какими можно пренебречь. Включение каждого фактора связано с большим объемом исследований по получению реализаций и статистической обработке, это требует значительных затрат времени и средств. Степень идентичности должна обеспечивать решение конкретной задачи, то есть нам необходимо из всех возможных видов описания объекта выбрать такой, который был бы максимально простым в смысле его реализации и, с другой стороны, давал бы возможность решить поставленную задачу. Например, если идет речь об управлении качеством какого-либо изготавливаемого продукта, который характеризуется дисперсией выходных переменных, то очевидно, модель, полученная при идентификации, должна давать возможность рассчитывать выходную переменную с точностью, которая характеризуется этой дисперсией.

Оценку точности определения выходной переменной производят по дисперсии условного математического ожидания или математическому ожиданию условной дисперсии (остаточной дисперсии). Значит, эта характеристика может быть использована в качестве характеристики степени соответствия, идентичности модели объектов. Но дисперсия может принимать значения от нуля до бесконечности, что неудобно для практического применения. Естественно ввести ограничения и потребовать, чтобы количественная мера степени идентичности принимала значения от 0 до 1 (0  полное несоответствие, 1– полное соответствие, то есть функциональная зависимость). Поэтому в качестве меры степени идентичности применяют отношение дисперсии условного математического ожидания выходной переменной y(t) относительно входной переменной x(t) к дисперсии выходной переменной y(t).

В одномерном случае оптимальный по критерию минимума среднеквадратичного отклонения оператор дает условное математическое ожидание y(t) относительно совокупности значенийx(t):

                                                     (20.1)

Тогда в качестве оценки степени идентичности модели (20.1) объекту

                                                                            

принимают отношение

,                            (20.2)

где - дисперсия условного математического ожидания значения выходной переменнойy(t) относительно значения входной переменной x(t) при соответствующих значениях аргумента t, то есть относительно совокупности значений х при всех аргументах sв T; D{y(t)} - дисперсия выходной переменнойy(t).

В (20.2) по определению

                       

то есть математическое ожидание квадрата отклонения поверхности регрессии выходной переменнойy(t) в момент tотносительно совокупности значений входной функции x(s) для всех s от математического ожидания y(t).

Дисперсия условного математического ожидания характеризует ту часть общей дисперсии выхода y(t), которая вызвана влиянием всей совокупности значений входа x(s) для всех s изT.

Общая дисперсия может быть представлена таким образом

                   (20.3)

Имеем

                               

Из (20.2), учитывая (20.3) получим

.                                             

Тогда

                                             (20.4)

- количественная характеристика степени неидентичности модели объекту.

Из определений (20.2), (20.4), учитывая (20.3), имеем

Действительно, если модель построена на основе учитываемой информации x(t), которая не связана или слабо связана с y(t), что характеризуется большими значениями по сравнению с D{M{y/x}},то степень идентичности будет мала или равна нулю, а степень неидентичности значительна или равна единице.

Мера степени идентичности дает количественную оценку степени наших знаний об объекте, степени его формализации.