19 Лекция 19. Идентификация нелинейных объектов

 

Содержание лекции:

-  особенностиидентификации нелинейных объектов; методы решения задачи идентификации нелинейных объектов.

 

Цель лекции:

-    изучить методы идентификации нелинейных объектов.

 

19.1 Особенности идентификации нелинейных динамических объектов

          Как статические, так и динамические процессы могут обладать нелинейными характеристиками, которые нельзя игнорировать. Как следует из ранее изложенного, даже идентификация линейных динамических объектов представляет собой весьма сложную задачу. При идентификации нелинейных динамических объектов трудности несоизмеримо возрастают. Одной из основных трудностей является зависимость переходного процесса нелинейного объекта не только от формы, но и от амплитуды входного сигнала, что выдвигает сложные и противоречивые требования к выбору пробного сигнала при активной идентификации. Другим серьезным препятствием служит бесконечное разнообразие типов нелинейных операторов, описывающих объекты. Эти, а также ряд других обстоятельств являются причиной того, что почти все предложенные к настоящему времени методы идентификации нелинейных динамических объектов пока далеки от практического применения.      

 

19.2 Методы идентификации, основанные на линеаризации характеристик объектов

Методылинеаризации представляют наиболее развитую группу методов идентификации нелинейных систем. В нашем курсе мы неоднократно встречались с такими задачами. Напомним идею метода. Она состоит в замене нелинейной зависимости линейной.

Уравнение объекта в общем случае имеет вид:

L[y(t)] =f[x(t)],                                                                      

где L – линейный дифференциальный оператор.

Разложим в степенной ряд в окрестности рабочей точки x₀:

f(x) =a₀ + a₁(x -x₀) + a ₂ (x -x₀)² + …

Обозначив приращения переменных через  и введя обозначениеy₀=f(х₀), получим оператор (1) в приращениях:

причем, коэффициент линеаризации K=a₁.

          Простота и достаточная в ряде случаев точность обеспечили преимущественное развитие этих методов. Однако, рассмотрение объектов в линейном приближении является часто недостаточным.

 

19.3 Идентификация нелинейных функций априорно известного вида

Если имеется априорная информацияо типе нелинейности, то параметры «истинных» нелинейных функций могут быть идентифицированы. В таких случаях можно использовать один из следующих приемов:

а)  произвести замену переменных в исходном аналитическом выражении, затем, выполнив линеаризацию, получить линейную модель объекта.  Рассмотрим процесс, описываемый выражением

                                    (19.1)

Для идентификации этого процесса введем сначала следующие новые переменные:

                                                                (19.2)

В итоге получим:

                     .                                    (19.3)

          Линеаризуем теперь уравнение (19.3) в предположении, что приращения его переменных малы:

   (19.4)

Вводя обозначения

     (19.5)

получим

                    .                     (19.6)

Очевидно, b₁, b₂,…,b₅ могут быть идентифицированы методом линейной регрессии. Замечая, что  можно определить  а₅, поскольку   и   доступны для измерения. Подставляя выражение для а₅  в формулу (19.5) для , получаем . Член  непосредственно определяется величинойсогласно (19.5).  Члены ,можно найти из выражений (19.5) для ,следующим образом. Значение  находим из выражения  где  переменная  доступна для измерения. Наконец,  определяется подстановкой  в выражение (19.5) для .

          По аналогии с описанной выше методикой идентификации процесса (19.1) может быть идентифицировано много других видов нелинейных зависимостей;

          б) экспоненциальные зависимости вида   могут быть идентифицированы, если преобразовать их путем логарифмирования к соотношению вида:              .Обозначая получим  где А и В легко вычисляются методом минимума среднеквадратичной ошибки.

          Аналогично в процессах вида  можно использовать логарифмирование, получая выражение , из которого а  и в вычисляются так же, как и в предыдущем случае.

Однако, в некоторых случаях последний метод непригоден или для его применения необходима некоторая дополнительная информация. Например, этот метод непригоден для системы

                                                ,                                                                               

в которой требуется идентифицировать            

Используя метод малых возмущений, получим . Здесь коэффициент  может быть идентифицирован с помощью среднеквадратичного критерия  однако это не дает решения для .  Можно, конечно, использовать вторые и высшие частные производные (или возмущения второго и последующих порядков), но на практике это обычно не имеет смысла, поскольку здесь значимость производных мала, особенно если измерения зашумлены.