4.3 Линеаризация уравнений
Одним из путей упрощения модели является линеаризация полученного уравнения, то есть переход к линейной математической модели объекта.
Конечной целью моделирования динамики процессов является использование моделей в системах управления для определения динамических характеристик. Поэтому любым способом надо найти решение уравнений. Линейные дифференциальные уравнения решаются сравнительно легко. Однако не всегда возможно описать поведение объекта линейным уравнением. Поэтому применяется аппроксимация нелинейных связей в заданном диапазоне аргументов линейными соотношениями. Другими словами, в заданном диапазоне входных аргументов нелинейные уравнения заменяются линейными – линеаризуются. В линейных объектах связи входных и выходных сигналов легко описываются с помощью передаточной функции.
Линеаризация обычно проводится путем разложения нелинейных зависимостей в ряд Тейлора в окрестности исходного стационарного режима с сохранением только линейных частей разложения и последующим вычитанием уравнений статики. С помощью этой процедуры получаются уравнения модели не относительно ее переменных, а относительно отклонений переменных от исходного стационарного режима. Такое преобразование дает возможность легко применить преобразования Лапласа для записи модели объекта в виде передаточных функций.
Полученная таким образом линейная модель объекта справедлива лишь при малых отклонениях от исходного стационарного режима. Решение уравнения при ступенчатом или импульсном изменении входной величины позволяет получить соответственно переходные функции (кривые разгона) или импульсные временные характеристики объекта. Решение часто проводится в области изображений Лапласа или Фурье. В этом случае получают соответственно передаточные функции или амплитудно-фазовые характеристики.
5 Лекция 5. Аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами
Содержание лекции:
- аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.
Цель лекции:
- изучить на примерах основные методы аналитического моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.
При составлении дифференциальных уравнений объектов с сосредоточенными параметрами обычно исходят из уравнений материального и теплового баланса.
Согласно первому из них изменение массы вещества в замкнутом объеме в единицу времени равно алгебраической сумме входных и выходных потоков
(5.1)
здесь: Di (i=1,k) – массовый расход входного i-го потока, Dj (j=1,r) - массовый расход выходного j-го потока, G – масса вещества в рассматриваемом объеме, t - время.
Аналогично, изменение энтальпии какого-либо тела в единицу времени равно алгебраической сумме тепловых потоков, подводящих (или отводящих) тепло к рассматриваемому телу
(5.2)
где Qi (i=1,k) – i-ый входной поток тепла, Qj (j=1,r) - j-ый выходной поток тепла, I – энтальпия тела.
Дать законченную теорию моделирования всех разновидностей процессов в их различных проявлениях не представляется возможным. Для иллюстрации применения основных естественнонаучных законов сохранения массы, движения, энергии в наиболее характерных процессах рассмотрим несколько примеров.
Пример 5.1. Моделирование объекта регулирования уровня жидкости в резервуаре.
Объектом исследования является резервуар с независимым Gn(t) притоком жидкости и зависимым стоком Gc(t). Последний определяется величиной уровня над сливным отверстием H и площадью проходного сечения сливного отверстия fc.
При составлении уравнений математической модели объекта используются:
- уравнение материального баланса системы:
(5.3)
- уравнение, отражающее закон сохранения движения; Gс не является независимой переменной, это функция М. В соответствии с законом гидродинамики поток из выходного отверстия определяется законом
(5.4)
здесь μ – кэффициент расхода, fc - площадь поперечного сечения выходного отверстия, g - ускорение свободного падения, H - уровень жидкости в резервуаре.
а)
Требуется изучить поведение объекта в
условиях равновесия, под которым будем
понимать неизменность координат
состояния (здесь Н и Gc)
во времени. Нетрудно видеть, что при
равновесии в резервуаре не будет
происходить изменения количества
вещества, то есть 
Следовательно, уравнение материального
баланса будет выражено очевидным
соотношением
С другой стороны, понятие равновесия с математической точки зрения выражается равенством нулю всех производных координат состояния
отсюда
имеем 
.
А это, в свою очередь, означает, что
или 
.
В итоге можно записать
(5.5)
Подставляя (5.4) в (5.5) получим возможность вычислять положение уровня жидкости в баке
.
Таким образом, математическая модель системы, находящейся в равновесии, может быть представлена в виде
или 
где
- x1 = Gn, x2 = fc; y1 = Gc, y2 = H -
переменные, P = 
-
параметр модели.
Эта модель – статическая, название связано со статичным состоянием объекта, находящегося в равновесии.
б) Требуется изучить поведение бака с жидкостью в общем случае, снимая условия равновесия.
Количество жидкости в резервуаре, находящейся над плоскостью сливного отверстия, определяется из соотношения:
,
где F – площадь поперечного сечения резервуара, ρ – плотность.
Считая
F и ρ постоянными, то есть
принимая F=F0,
ρ= ρ0
и подставляя вместо 
его
выражение (5.4), получим дифференциальное
уравнение:
.
(5.6)
Это уравнение в обобщенной форме может быть записано следующим образом:
.
Соотношение (5.4) можно привести к обобщенной форме
.
В итоге система двух уравнений с двумя неизвестными:
(5.7)
является динамической моделью резервуара с жидкостью. При этом динамика связывается с изменением состояния системы.
В этом примере статическая модель является частным случаем динамической модели. Это обстоятельство не является обязательным. Чаще всего, два этих типа моделей дополняют друг друга.
в) Требуется получить линеаризованную динамическую модель резервуара с жидкостью, считая, что исходное состояние равновесия системы соответствует времени t0 .
Для оценки значений координат состояния в начальном состоянии равновесия можно воспользоваться статической моделью. Тогда
.
Основную нелинейность в систему уравнений вносит соотношение (5.4). Разложим его в ряд Тейлора, ограничиваясь только линейными членами:
(5.8)
Определим коэффициенты ряда:
.
Принимая во внимание исходное состояние равновесия, будем в модели изучать только отклонения переменных от своих начальных значений, то есть:
(5.9)
Тогда:
.
Это уравнение является первым уравнением линеаризованной модели. Подставим результат линеаризации (5.8) в (5.6) и, имея ввиду, что
и
получим:
.
Используя обозначения:
y1 = ΔGс, y2 = ΔΗ, x1 = ΔGn и x2 = Δfc,
линеаризованную динамическую модель бака с жидкостью можно представить следующей системой уравнений:
в которой
.
Коэффициенты
уравнений ki и T,
являющиеся параметрами линеаризованной
модели, зависят от состояния равновесия,
предшествующего переходному процессу.
Поэтому модель требует перенастройки
ее параметров в случае изменения исходных
состояний (
) моделируемого
объекта.
В случае необходимости моделирования объекта при существенном изменении крутизны характеристик переходят к их кусочно-линейной аппроксимации. При этом нелинейный объект описывается совокупностью линейных зависимостей и логических соотношений, определяющих зону действия каждого линейного выражения.