2. Математики о математике

То, что здесь обозначено как соотношение дизъюнк­тивного и недизъюнктивного¹, становится предметом специального рассмотрения в некоторых новейших ра­ботах математиков. Не претендуя на сколь-нибудь пол­ный анализ всех этих работ, мы кратко остановимся лишь на некоторых из них, с тем чтобы уточнить, как сами математики раскрывают исходное свойство мно­жества — изначальную дизъюнктивную отделенность элементов внутри единого целого (аналогичную физи­ческой отделенности между деталями, блоками, узлами машины или автомата).

В данном отношении особенно большой интерес

137

представляет, например, точка зрения П. К. Рашевского, который специально подчеркивает, что натуральный ряд чисел до сих пор является единственной идеализа­цией процессов реального счета (т. е., добавим от себя» счета физических, отделенных друг от друга предметов). В достаточно простых случаях такой исходный и эле­ментарный способ пересчета предметов легко доводится до конечного, однозначно определенного итога (скажем, число присутствующих в зале). «Именно эту ситуацию берет за основу теория натурального ряда и в идеали­зированном виде распространяет ее «до бесконечно­сти». Грубо говоря, совокупности большие предпола­гаются в каком-то смысле столь же доступными пере­счету, как и малые и со столь же однозначным итогом хотя бы реально этот пересчет и был не осуществим»².

Ввиду своей единственности подобная идеализация процессов счета занимает монопольное положение в нау­ке. В данном отношении натуральный ряд чисел можно сравнить, по мнению П. К. Рашевского, с положением Евклидовой геометрии в XVIII в., когда она была един­ственной геометрической теорией и потому считалась абсолютной истиной, одинаково обязательной и для ма­тематиков, и для физиков. Казалось само собой понят­ным, что физическое пространство должно идеально точно подчиняться Евклидовой геометрии (а чему же еще?). Аналогичным образом, считает Рашевский, сейчас нередко представляется очевидным, что пересчет как угодно больших материальных совокупностей, из­мерение как угодно больших расстояний в физическом пространстве и т. д. должны подчиняться существую­щим схемам натурального ряда и числовой прямой (а чему же еще?). Разница лишь в том, что на первый вопрос в скобках дало ответ развитие науки в XIX— XX столетиях, (неевклидова геометрия и теория отно­сительности), а на второй вопрос, по словам П. К. Ра­шевского, ответ еще предстоит дать.

Существующая ныне идеализация процессов счета является, конечно, вполне: законной в рамках матема­тики, но, будучи единственной, она используется также и физикой (наиболее математизированной из всех фундаментальных наук). Но в этом случае положение существенно меняется. Допустим, к примеру, что не-

138

обходимо определить, сколько молекул газа заключено в данном сосуде. Спрашивается, нужен ли здесь ответ в виде совершенно точно определенного целого числа? Главная проблема по мнению Рашевского, состоит не в практических трудностях решения этой задачи, а в ее принципиальной неразрешимости, поскольку моле­кулы газа взаимодействуют со стенками сосуда, ис­пытывают различные превращения и т. п. Поэтому физик во всех подобных ситуациях вполне удовлетво­ряется достаточно хорошим приближенным ответом.

Приведенный простой пример позволяет П. К. Ра-шевскому сделать важное обобщение: «...математик предлагает физику не совсем то самое, что тому нужно. Духу физики более соответствовала бы такая мате­матическая теория целого числа, в которой числа, когда они становятся очень большими, приобретали бы в каком-то смысле «размытый вид», а не являлись строго определенными членами натурального ряда, как мы это себе представляем»¹. Ведь добавление только одной единицы сразу же меняет число, в то время как для физики добавление одной молекулы в сосуд с газом по существу ничего не меняет.

В итоге, по словам П. К. Рашевского, возникает намек, на гипотетическую возможность математической теории нового типа: «...в ней прежде всего пришлось бы отказаться от идеи, что любой член натурального ряда получается последовательным насчитыванием единиц — идеи, которая буквально, конечно, не форму­лируется в существующей теории, но косвенно прово­цируется принципом математической индукции. Вероят­но, для «очень больших» чисел присчитывание единицы вообще не должно их менять².

В качестве «чисел» в этой будущей теории должны выступать объекты другой природы, чем числа нату­рального ряда. Последний, все более «размываясь», приобретал бы в каком-то смысле черты непрерывной структуры числовой прямой (добавим, что подобная непрерывность, которая в дальнейшем будет рассмот­рена нами более подробно, и означает один из этапов перехода от дизъюнктивного типа связей к недизъюнк­тивному).

139

Намечаемая П. К. Рашевским гипотетическая рефор­ма числового ряда необходимо предполагает и соответ­ствующую реформу числовой прямой. «...Эта «рефор­мированная» числовая прямая должна отличаться от обычной тоже некоторой размытостью своих элементов, сколь угодно точные рациональные приближения ве­щественных чисел возможны именно потому, что мы пользуемся обычным натуральным рядом, элементы которого определены абсолютно точно, сколь далеко, мы ни зашли бы. Но если при удалении по натураль­ному ряду возникает возрастающая размытость его элементов, она передается и дробям с большими знаменителями, и мы доходим до оптимальной возможной точности в оценке (реформированных) вещественных чисел, может быть, раньше, чем знаменатель успеет «устремиться к бесконечности»»³. Эти положения легка пояснить на примере физики, в которой вещественное число выступает как результат измерения, производи­мого всегда лишь с определенной степенью точности. Здесь не требуется идеальная точность вещественного числа, предлагаемая математикой. В будущей гипотети­ческой математической теории вместо этой идеальной точности, возможно, будет использоваться идея «раз­мытости» или оптимальной «приближенности».

П. К. Рашевский специально отмечает, что построе­ние подобной новой теории (если она вообще возможна) явится исключительно трудным делом, поскольку ее логическая структура должна существенно отличаться от «общепринятых схем». Этот момент он раскрывает на следующем примере: в обычной математической теории признается, что любой математический объект, участвуя в конструкции другого объекта, сам от этого не меняется и тем более не исчезает. Так, сопоставляя числа а и в и их cyммy а+в, мы в то же время сохраняем в своем распоряжении и прежние числа. Такой математический принцип не является отражением всех материальных прообразов математических операций. Например, «сло­жив» два мешка зерна путем ссыпания их в третий мешок, мы получаем сумму, но безвозвратно «теряем» точные материальные слагаемые. В итоге П. К. Ра­шевский приходит к общему принципиально важному выводу: «Возможно, и в нашей гипотетической теории придется принять, что участие объекта в конструирова-

140

нии другого объекта некоторым образом влияет на первый объект, вызывает в нем какие-те изменения»⁴.

Кратко изложенная здесь точка зрения одного из математиков на некоторые исходные логические прин­ципы представляемой им науки особенно отчетливо характеризует взаимоотношения между первичными математическими объектами. Они действительно явля­ются относительно неизменными и изначально четко отделенными друг от друга элементами (как бы кир­пичиками), которые при любых последующих взаимо­действиях сохраняют свои исходные основные свойства. Включаясь во все более сложные взаимосвязи друг с другом, элементы множества всегда остаются, однако, «сверхтвердыми» и потому «сверхпрочными» компонен­тами, поскольку любой математический объект, участ­вуя в конструкции другого объекта, сам по себе от это­го не меняется и тем более не исчезает. Выключаясь из взаимосвязей с себе подобными, каждый элемент мо­жет остаться неизменно таким же, каким он был до включения в них. Такова принципиальная обратимость всех операций, которые совершаются над указанными элементами.

В данном контексте целесообразно снова обратиться к аналогии между элементами математического множе­ства и деталями автомата, поскольку компоненты того и другого соединены на основе общего типа взаимосвя­зей. В принципе и в идеале все части, узлы, блоки автомата должны быть как можно более прочными, надежными, твердыми, неизнашивающимися и т. д. Столь существенные изначальные качественные их свойства обеспечиваются тем материалом («субстра­том»), из которого сделаны эти детали. Надежность таких деталей означает, что автомат функционирует нормально до тех пор, пока все его части остаются «морфологически» неизменными.

Следовательно, каждая деталь, взаимодействуя с другими деталями в процессе функционирования ма­шины, может приобретать весьма разнообразные — ме­няющиеся или неизменные — функциональные свойст-

141

ва. Эти взаимодействия частей должны быть обратимы, поскольку материал, из которого сделаны все детали, обеспечивает сохранность, неизменность их «субстрат­ных», или «морфологических», свойств.

Таким образом, аналогия между деталями автомата и элементами множества состоит прежде всего в том, что в обоих случаях морфологически неизменные ком­поненты того и другого вступают в различные функци­ональные обратимые связи друг с другом, но сохраняют свои исходные качества даже после того, как указанные взаимосвязи прекращаются. Подобного рода функцио­нальные обратимые связи между морфологически, суб­стратно неизменными элементами мы будем называть в дальнейшем внешними связями¹.

То обстоятельство, что такой субстрат, или мате­риал, остается неизменным при включении его в новые внешние взаимосвязи, не означает, что он не играет при этом вообще никакой роли. В действительности именно его неизменность и является существенным, качествен­но специфическим свойством, необходимым для обра­тимости внешних связей. И наоборот, если бы в про­цессе взаимодействия друг с другом те или иные элементы (скажем, детали машины) подвергались морфологическим изменениям, изнашивались бы и т. д., то это могло бы привести к существенным необрати­мым сдвигам в функционировании всей системы.

Итак, когда математик (например, П. К. Рашевский в вышеуказанной статье) говорит, что любой матема­тический объект, участвуя в конструкции другого объекта, сам от этого не меняется и тем более не исчезает, то все это по существу означает прежде всего признание внешнего характера взаимосвязей между морфологически неизменными элементами математи­ческого множества (или машины). Такой тип связей является необходимым следствием изначальной отделенности, или дизъюнктивности, подобных элементов. Это препятствует их взаимопроникновению и вообще установлению между ними внутренних взаимосвязей, без которых невозможны самодвижение и саморазви­тие. Вот почему изначальная дизъюнктивность элемен-

142

тов внутри их единства закономерно выражается в их морфологической неизмененности.

Эта проблема часто выступает в несколько иной форме — как соотношение функциональных (изменяю­щихся или неизменяющихся) и морфологических, суб­стратных (неизмененных) свойств, что нередко дает повод для разработки так называемого чисто функцио­нального метода, вовсе абстрагирующегося от мате­риального субстрата исследуемых процессов. Согласно наиболее распространенной точке зрения, основное преимущество информационного моделирования и во­обще кибернетического подхода состоит именно в том, что они являются чисто функциональными и потому позволяют полностью отвлекаться, например, от спе­цифики мозгового субстрата при изучении физиологи­ческих и психических процессов (в частности, за это, как уже выше отмечалось, П. К. Анохин критиковал некоторых кибернетиков).

На самом деле ни один чисто функциональный метод в принципе не может быть бессубстратным, т. е. не может полностью абстрагироваться от морфологических, субстратных свойств исследуемых явлений. Подобно тому как любой количественный подход всегда имеет своей предпосылкой некоторые (но не любые) очень общие качественные свойства познаваемого объекта, всякий функциональный метод исследования основан на некоторых очень общих, качественно специфических особенностях морфологии (или субстрата), дающих начало функциям и свойствам изучаемого процесса.

Главная ошибка в истолковании чисто функциональ­ного метода как бессубстратного, на наш взгляд, со­стоит в следующем. В качестве исходного основания такого метода используют лишь один (отнюдь не все­общий) тип субстратных свойств, а именно морфологи­чески неизменные элементы математического множе­ства, машины и другие подобные объекты. И этот один из многих видов субстрата осознанно или неосознанно рассматривают как единственно возможный и потому универсальный. Тем самым сразу же игнорируются все остальные виды субстрата, и прежде всего морфофи-зиологические основы любого психического явления (которые, конечно, не состоят из дизъюнктивных, мор­фологически неизменных элементов). В итоге и возни­кает иллюзия, будто чисто функциональный подход

143

превращается в бессубстратный и, следовательно, все­общий.

Таким образом, все более отчетливо выступает стро­го определенная и во многом ограниченная роль мор­фологически постоянных, дизъюнктивных элементов как структурной основы математического множества, ма­шины и других объектов. Согласно вышеизложенной очень общей и почти не разработанной гипотезе П. К. Рашевского, в основу будущей реформы математики надо положить идею «размытости» натурального ряда и числовой прямой. Подобная «размытость» и есть, по нашему мнению, один из возможных способов перехода от дизъюнктивного типа связей между компонентами,, или аспектами, исследуемого явления к более глубоко­му и общему типу связей — недизъюнктивному.

Идею «размытости», «расплывчатости», «нечетко­сти» исходчых математических объектов выдвигают также и некоторые другие математики. Наиболее си­стематически она разрабатывается в исследованиях Л. А. Заде, постепенно оформляясь в теорию «размы­тых» множеств.

Л. А. Заде выделяет два основных типа систем: 1) так называемые гуманистические системы (например, экономика), в которых непосредственно участвует че­ловек, и 2) механистические (в широком смысле слова), т. е. системы, управляемые законами механики, элек­тромагнетизма и термодинамики. Выдающиеся научные и практические достижения в изучении и использовании физических и технических законов механистических си­стем и соответствующего математического аппарата породили широко распространенное убеждение в том, что теми же или подобными методами можно сравни­тельно эффективно исследовать и гуманистические си­стемы. Например, блестящие успехи в конструировании космических автоматов высокой точности и надежности,, достигнутые на основе теории автоматического управ­ления, стимулировали применение этой теории в эконо­мических и биологических системах. Вот почему в на­стоящее время «по глубоко укоренившейся традиции научного мышления понимание явления отождествляют с возможностью его количественного анализа»¹.

144

Л. А. Заде выступает против этой традиции, которая укрепляет растущую тенденцию анализировать гума­нистические системы так, как если бы они были меха­нистическими системами, описываемыми в терминах разностных, дифференциальных или интегральных уравнений. Он пишет: «Наш основной тезис заключается в том, что по своей сути обычные количественные ме­тоды анализа систем непригодны для гуманистических систем и вообще любых систем, сравнимых по слож­ности с гуманистическими системами... Чем сложнее система, тем менее мы способны дать точные и в то же время имеющие практическое значение суждения о ее поведении»².

Например, по мнению Л. А. Заде, точный количест­венный анализ не имеет, по-видимому, большого прак­тического значения для решения реальных социальных, экономических и других задач, связанных с участием людей. Чтобы можно было решать задачи, относящиеся к области гуманистических систем, Л. А. Заде и пред­принимает попытку разработать новую теорию мно­жеств, призванную заменить собой непригодную в этой области науки традиционную точную математику.

Такой принципиально новый подход к будущей ма­тематике (если она возможна) опирается на следующую предельно общую предпосылку: «Элементами мыш­ления человека являются не числа, а элементы некото­рых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от «принадлежности к классу» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен»³. Простейшим примером может служит символ нечетко го множества, выступающий в качестве значения нечет­кой лингвистической (не числовой) переменной, — «высота». Такая переменная принимает различные зна­чения типа; высокий; невысокий: довольно высокий; очень высокий; не очень высокий; очень-очень высокий; высокий, но не очень; вполне высокий; более или менее высокий. Здесь намечаются плавные взаимопереходы между крайними случаями, когда данный элемент либо принадлежит, либо не принадлежит к определенному классу. Это и означает, с нашей точки зрения, попытку преодолеть дизъюнктивный способ рассуждения, осно-

145

ванный на четкой отделенности друг от друга элемен­тов, их классов и т. д.

Отмечая и пытаясь преодолеть указанную ограни­ченность современной математики, Л. А. Заде не вы­ходит, однако, за ее пределы. По крайней мере в неко­торых своих работах он интерпретирует расплывчатое множество на основе многозначной логики⁴. В случае нечетких классов (скажем, класс, или множество, ум­ных людей) элемент может принадлежать либо не при­надлежать к данному классу, но, кроме того, здесь неизбежны различные промежуточные градации такой принадлежности. Разные степени последней и описы­ваются с помощью всевозможных значений истинности в многозначной логике. На этой основе нельзя, однако, перейти к недизъюнктивному методу исследования, поскольку, как известно, отношения между значениями истинности в многозначной логике являются в принципе такими же, как и в двузначной, т. е. в обоих случаях они дизъюнктивны.

Поэтому для целей данного .исследования теория Л. А. Заде наиболее интересна именно в своей крити­ческой части, характеризующей специфические особен­ности современной математики, и прежде всего выше­упомянутый разрыв (т. е. дизъюнктивность) в процессе перехода между принадлежностью и непринадлежно­стью к/ классу¹. Л. А. Заде, как мы видели, ставит (но не решает) задачу выявить непрерывность подоб­ного перехода. Такая непрерывность и есть одно из проявлений недизъюнктивности (в указанном понима­нии).

Эта проблема с наибольшей остротой встает на фоне известных парадоксов теории множеств, выявлен­ных на рубеже XIX—XX веков, но не преодоленных полностью до сих пор² и потому особенно ярко де­монстрирующих исключительную сложность взаимо­связей между прерывным и непрерывным, принадлеж-

146

ностью и непринадлежностью к классу (или множеству). Их можно кратко проанализировать с помощью Следующего популярного примера, приводимого Б. Рас­селом.

Деревенский брадобрей бреет тех, и только тех, жи­телей данной деревни, которые не бреются сами. Бреет ли он себя? Если он будет брить себя, значит, он бре­ется сам и потому не имеет права себя брить. Но если он себя не будет брить, значит, он сам не бреется и потому получает право брить себя...³ Здесь все дело именно в способе перехода от одного класса, или мно­жества (те, кто не бреются сами, к другому классу, или множеству (те, кто бреют других). Этот способ пе­рехода зависит прежде всего от типа взаимосвязей между соответствующими свойствами объекта.

Один и тот же познаваемый объект (в данном слу­чае брадобрей) в разных системах связей и отношений, выступает в соответственно разных взаимонедизъюнктивных качествах: и как субъект, и как объект своей профессиональной деятельности. Парадокс возникает постольку, поскольку для математики и математической логики эти разные системы связей оказываются взаимо­дизъюнктивными. Вот почему самый простой метод ликвидации такого парадокса состоит, с точки зрения математики, в том, чтобы устранить столь сложную зависимость между различными системами связей, т. е. переформулировать проблему следующим образом: брадобрей бреет всех жителей деревни, не считая себя самого⁴. Тогда парадокса не возникнет, потому что бра­добрей выступает теперь лишь в одном своем качест­ве — только как субъект, но не объект своей профессио­нальной деятельности.

В этом контексте парадоксы теории множеств по­могают особенно отчетливо выявить различия и взаимо­связь между (1) логико-математическим, дизъюнктив­ным и (2) недизъюнктивным способами исследования. Математическая, вообще формальная логика и теория множеств разработаны на таком уровне абстракции, на

147

котором в качестве ведущих выступают дизъюнктивные свойства объекта. И наоборот, когда ведущими оказы­ваются недизъюнктивные свойства, наиболее адекват­ным способом их изучения становится недизъюнктивный подход, основанный на диалектической логике. Следо­вательно, все зависит в итоге от того, являются ли различные качества исследуемого процесса взаимодизъ­юнктивными (например, остро-, прямо- и тупоугольные треугольники) или, напротив, недизъюнктивными (к примеру, физиологические и психические аспекты го­ловного мозга). Проблема, которая для математической логики выступает в виде неразрешимого или трудно­разрешимого парадокса, получает свое наиболее глу­бокое решение благодаря применению недизъюнктив­ного подхода. Именно в этих случаях недизъюнктивный анализ через синтез может обнаружить свои главные преимущества (о которых, в частности, уже говорилось выше, например, при сопоставлении психофизиологи­ческой проблемы и принципа дополнительности¹).

Таким образом, по мере все более детального соот­несения дизъюнктивного и недизъюнктивного типов взаимосвязей между различными аспектами и компо­нентами тех или иных процессов все более четко выяв­ляется исходное специфическое свойство математиче­ского множества — изначальная дизъюнктивная отде-ленность и рядоположность его элементов, объединен­ных в общую совокупность. Благодаря их столь четкой отделенности строго однозначно решается вопрос о том, включен или не включен данный предмет в некоторое множество предметов, обладающих соответствующими признаками. При этом все объекты сразу же дизъюнк-

148

тивно делятся на две части: одни из них входят, а дру­гие не входят в определенное множество как единств» элементов.

До сих пор отношения дизъюнктивности мы рас­сматривали в основном на простейшем примере первич­ного понятия множества, исходного для теоретико-мно­жественного направления в математике. Однако и за пределами последнего дизъюнктивность выступает в том же существенном качестве отделенности, взаимоисключаемости и т. д. Например, дизъюнктивность в такой, же степени характеризует общее понятие алгорифма, которое является важнейшим для конструктивного на­правления² в математике и математической логике, разрабатываемого А. А. Марковым, Н. А, Шаниным и другими. Исходными данными в марковских алгориф­мах могут быть «слова» (т. е. произвольные линейные сочетания «букв» — знаков) в определенном фиксиро­ванном «алфавите»³. Такие слова представляют собой один из простейших типов конструктивных объектов, математики, порождаемых алгорифмами. Ясно, что и в. этом случае исходные отношения между первичными математическими объектами остаются дизъюнктивными.

Следовательно, основные понятия математики (мно­жество, алгорифм и т. д.) изначально и необходимо характеризуются дизъюнктивностью, и потому послед­няя неизбежно воспроизводится во всех других мате­матических построениях или конструкциях. Отчетлива это обнаруживается, например, в уже упоминавшихся отношениях соответствия (изоморфизма, гомоморфизма и т. д.), которые пронизывают всю математику и мате­матическую логику.

Теперь необходимо подвести основной итог прове­денному анализу некоторых исходных и всеобщих по­нятий математики и математической логики. С точки зрения самих математиков, представляемая ими наука характеризуется прежде всего той существенной осо-

149

беиностью, которая здесь кратко обозначена как дизь-юнктивность. Этот вывод важен не сам по себе, а лишь в связи с обсуждаемой нами дискуссионной проблемой математизации таких наук, как психология. До послед­него времени математики обычно не рассматривали отмеченную выше существенную особенность своей науки (т. е. дизъюнктивность) в качестве сколько-ни­будь серьезного препятствия для математизации гума­нитарных и биологических наук. Самым убедительным подтверждением этого являются предпринятые в 50-е годы весьма многочисленные попытки распространить кибернетику на все области психологии, биологии, со­циологии, лингвистики и т. д. Такие попытки или пред­принимались самими математиками, или поддержи­вались ими.