4.4 Контрольні запитання

1. Яке відношення називається бінарним?

2. Якими способами можна задати бінарне відношення?

3. Як визначається матриця суміжності?

4. Чим визначається розмір матриці суміжності?

5. Що таке граф бінарного відношення?

6. Які властивості мають бінарні відношення?

7. Як визначається властивість рефлексивності?

8. Чим характеризується матриця суміжності рефлексивного бінарного відношення?

9. Які характерні ознаки має граф рефлексивного відношення?

10. Як визначається властивість симетричності?

5 Бінарне відношення порядку

5.1 Упорядковані множини. Бінарне відношення порядку

Визначення 5.1.Упорядкованою називається множинаіз заданим відношенням порядку:.

Символ означає порівнянність елементів множини:.

Визначення 5.2.Бінарнимвідношенням порядку(упорядкованості) називається рефлексивне, антисиметричне й транзитивне відношення:

1) рефлексивність означає, що кожний елемент порівняний сам із собою:

; (5.1)

2) антисиметричність означає, що якщо елемент порівняний з елементом, апорівняний з, тотаспівпадають:;

, тобто; (5.2)

3) транзитивність: якщо елемент порівняний із елементом , а порівняний із , то порівняний із :

,

тобто . (5.3)

5.2 Типи порядку (лінійний, частковий, передпорядок)

Визначення 5.3. Бінарне відношення, що має властивості анти­рефлексивності,антисиметричності й транзитивності, називається відношеннямстрогої впорядкованостій позначається.

Визначення 5.4. Бінарне відношення, що має властивості рефлексивності й транзитивності, називаєтьсявідношенням передпорядку.

Визначення 5.5. Множина називається лінійно (повністю) упорядкованою, якщо будь-які два його елементи порівнянні, тобто, або, інакше – множина єчастково впорядкованою (існують непорівняні між собою елементи).

Приклад 5.1. На множині дійсних чиселвідношення порядку встановлюється за принципом порівнянності ”менше або дорівнює” (рис. 5.1):. Виконання аксіом 1 – 3 очевидно.

Рисунок 5.1 – Відношення лінійного порядку на множині дійсних чисел

Приклад 5.2. Для множини елементи булеану упорядковуються за включенням та утворюють частково впорядковану множину , що зображено діаграмою (рис. 5.2).

Рисунок 5.2 – Частково впорядкована множина із прикладу 5.2

Частково впорядковані множини зображуються у вигляді графів – діаграм Хасе , – у яких вилучені всі петлі та всі транзитивно замикаючі дуги, і позначаються. Діаграма Хасе відома у генеалогії з XIX ст. і використовувалася при заданні споріднення.

Таким чином, діаграма Хасе є графом, вершини якого є елементи множини (домену або класу), а з'єднуючі їх лінії (ребра або дуги) установлюють зв'язки між елементами безлічі (домена або класу), що інтерпретуються як відношення часткового порядку.

Дана теоретична концепція реалізується в мовах об’єктно-орієнтованого програмування, зокрема, C#.

Приклад 5.3.Видалення з діаграми (див. рис. 5.2), що ілюструє включення елементів булеана триелементної множини один до одного, всіх петель і всіх транзитивно замикаючих дуг дає діаграму Хасе, що також зображує частково впорядковану множину (рис. 5.3).

Н

Рисунок 5.3 – Діаграма Хасе для множини із прикладу 5.2

Приклад 5.4.Коди можна розглядати як деякі геометричні просторові фігури. Тріаду можна зобразити у вигляді одиничного куба, що має координати вершин, які відповідають двійковим символам (рис. 5.4). Вершини одиничного куба відповідають уявленню чисел 0 – 8 у двійковій системі числення.

Рисунок 5.4 – Геометричне зображення кодів у вигляді діаграми Хасе

Визначення 5.6.Елементпокриваєелемент, якщо

та

При цьому називаєтьсястаршимелементом.

Можна розглядати відношення покриття в упорядкованій множині.

Визначення 5.7.Найменшим (найбільшим) елементоммножиничасткового порядку називається елемент, якщо(). Найменший (найбільший) елемент називаютьмінорантою(мажорантою).

Визначення 5.8.Нехай. Мінімальний (максимальний) елемент із множини мажорант (мінорант) називаєтьсяверхньою (нижньою) гранню.

Визначення 5.9.Нехай. Найменший (найбільший) елемент множини всіх верхніх (нижніх) гранейназиваєтьсяточною верхньою(нижньою)граннюмножиний позначається().

В упорядкованому сімействі множини порожня множина є нульовим елементом, тобто ; універсум – одиничним елементом, тобто .

Приклад 5.5. Нехай множина частково впорядкована відношенням включення : (рис. 5.5). Елемент покриває елемент , тобто , отже, є старшим у порівнянні з . На множині розглядаються дві підмножини: ; . Множина верхніх граней для визначається як сукупність , нижня грань – . Супремум є найменша з верхніх граней: , інфімум , при цьому жодна із зазначених граней не належить до B₁. Mножина верхніх граней – , а множина нижніх граней є сукупність елементів . Тоді , , тобто обидві точні грані належать множині .

Рисунок 5.5 – Частково впорядкована множина

Теорема 5.1.Упорядкована множина М містить не більше одного найбільшого (найменшого) елемента.

Доведення. Якщо припустити, що існує більше одного найбільшого (найменшого) елемента, тобтой– два найбільших (найменших) елементи, тодіабо(або), отже, в силу антисиметричності одержуємо– єдиний найбільший (найменший) елемент. Що й було потрібно довести.

Визначення 5.10.Відношення(або) називається зворотним до бінарного відношення, якщо виконується умова:

.

Принцип подвійності:відношення, зворотне відношенню впорядкованості, є відношенням упорядкованості. Упорядковані множинийдвоїсті, якщовизначено на тому самому носії за допомогою зворотного відношення.

Відношення, зворотне до відношення впорядкованості, ілюструється діаграмою, двоїстою до діаграми Хасе.

Приклад 5.6. На триелементній множині із прикладу 5.5 задане зворотне відношення , яке можна проілюструвати діаграмою (рис. 5.6).

Рисунок 5.6 – Діаграма, зворотна до діаграми Хасе із прикладу 5.5

Визначення 5.11. Ланцюгомназивається підмножина впорядкованої множини. Довжина ланцюгавизначається як, де– потужність носія.

Приклад 5.7.Підмножинаіз прикладу 5.5 є ланцюгом у множині. Довжинаобчислюється відповідно до визначення 5.11 і дорівнює:.

Визначення 5.12. Висотою елемента впорядкованої множини називається максимум довжин ланцюгів в , для яких – найбільший елемент,– мінімальний елемент множини.

Приклад 5.8. Висота елемента в множині (див. приклад 5.5, рис. 5.5) визначається максимумом довжин ланцюгів і . Оскільки обидві ланцюги мають довжину 2, то висота елемента також дорівнює 2: .

Визначення 5.13. Довжиною впорядкованої множининазивається максимум довжин ланцюгів уабо максимум висотйого елементів:

.

Приклад 5.9.Довжина множиниіз прикладу 5.5, за визначенням 5.13 дорівнює:

.