- •Міністерство освіти і науки,
- •Упорядники: в.І. Хаханов,
- •Рецензент: є.І. Литвинова, д-р техн. Наук, проф. Каф. Апот хнуре
- •1 Основні поняття теорії множин
- •1.1 Відношення приналежності та включення
- •1.2 Способи задання множин
- •1.3 Алгебра множин Кантора
- •1.4 Закони й тотожності алгебри множин
- •1.5 Контрольні запитання
- •2 Відповідності. Функції. Відображення
- •2.1 Поняття впорядкованої пари й вектора
- •2.2 Декартів (прямий) добуток множин
- •2.4 Функції. Відображення
- •2.5 Контрольні запитання
- •3 Відношення. Алгебра відношень
- •3.1 Поняття відношення
- •3.2 Операції над відношеннями
- •3.3 Алгебра відношень
- •3.4 Контрольні запитання
- •4 Бінарні відношення
- •4.1 Способи завдання бінарних відношень
- •4.2 Властивості бінарних відношень
- •4.3 Бінарне відношення еквівалентності
- •4.4 Контрольні запитання
- •5 Бінарне відношення порядку
- •5.1 Упорядковані множини. Бінарне відношення порядку
- •5.2 Типи порядку (лінійний, частковий, передпорядок)
- •5.3 Контрольні запитання
- •6 Структури. Алгебраїчні системи. Ізоморфізм
- •6.1 Структура
- •6.2 Дедекиндові (модулярні) структури
- •6.3 Дистрибутивні структури
- •6.4 Ізоморфізм множин
- •6.5 Контрольні запитання
- •7 Висновки до розділу «Теорія множин»
- •8 Позначення до розділу «Теорія множин»
- •9 Основні поняття булевої алгебри
- •9.1 Логічні операції й логічні функції
- •9.2 Закони й тотожності булевої алгебри
- •9.3 Доведення законів булевої алгебри
- •9.4 Контрольні запитання
- •10 Диз’юнктивні та кон’юнктивні нормальні форми (днф і кнф). Досконалі днф і кнф (дднф і дкнф)
- •10.1 Днф і кнф
- •10.2 Дднф і дкнф
- •10.3 Складність зображення булевих функцій
- •10.4 Теорема Шенона про розкладання булевих функцій
- •10.5 Контрольні запитання
- •11 Елементи логічних схем. Булеві функції від двох змінних
- •11.1 Фізичний зміст логічних функцій і, або, ні та їх схемотехнічне зображення
- •11.2 Таблиця аналітичного й схемотехнічного зображення булевих функцій від двох змінних
- •11.3 Властивості й аналітичні подання елементарних булевих функцій від двох змінних
- •11.4 Приклади розв’язання практичних завдань
- •11.5 Контрольні запитання й завдання
- •12 Способи зображення булевих функцій
- •12.1 Табличний спосіб зображення булевих функцій
- •12.2 Числовий спосіб зображення булевих функцій
- •12.3 Аналітична форма запису булевих функцій
- •12.4 Геометрична інтерпретація булевих функцій
- •12.5 Кубічна форма зображення булевих функцій
- •12.6 Схемотехнічне зображення
- •12.7 Контрольні запитання й завдання
- •13 Системи функцій алгебри логіки. Функціональна повнота
- •13.1 Класи булевих функцій
- •13.2 Повнота функцій алгебри логіки
- •13.3 Контрольні запитання
- •14 Булеві похідні
- •14.1 Булеві похідні першого порядку
- •14.2 Фізичний зміст булевої похідної першого порядку
- •14.3 Змішана похідна -го порядку
- •14.4 Булеві похідні k-го порядку
- •14.5 Контрольні запитання
- •15 Мінімізація булевих функцій. Методи квайна і квайна-мак-класки
- •Булеві функції застосувуються при реалізації логічних схем. Різні вирази однієї й тієї ж функції представляють різні схеми.
- •15.1 Основні положення методу квайна
- •15.2 Мінімізація булевих функцій за методом Квайна-Мак-Класки
- •15.3 Контрольні запитання
- •16 Мінімізація булевих функцій: метод невизначених коефіцієнтів
- •16.1 Основні припущення
- •16.2 Алгоритм знаходження невизначених коефіцієнтів
- •16.3 Контрольні запитання
- •17 Мінімізація булевих функцій: метод карт карно
- •17.1 Основні положення
- •17.2 Спрощений стандарт карт Карно
- •17.3 Мінімізація за картами Карно
- •17.4 Контрольні запитання
- •18 Висновки до розділу «булева алгебра»
- •19 Позначення до розділу «булева алгебра»
- •Перелік посилань
- •Упорядники хаханов Володимир Іванович
11.4 Приклади розв’язання практичних завдань
Приклад 11.1. Синтезувати схему за логічним виразом
.
Розв’язок. Логічний вираз, яким задана функція, є сумою добутків – диз’юнкція елементарних кон’юнкцій (ДНФ). Кон’юнктивних термів два. Один з них складається з добутку інвертованих змінних , що відповідає блоку 1 у схемі, де значення вхідних каналів 2 і 3 спочатку інвертуються, а потім перемножуються. Результатом є значення вихідного каналу 4, що, у свою чергу є вхідним для блоку 3 (рис. 11.8). Другий кон’юнктивний терм відповідає добутку всіх трьох змінних, від яких залежить функція: . Йому відповідає тривходовий кон’юнктор, де значення трьох вхідних каналів перемножуються (блок 2). Результатом є вихід 5, що є вхідним стосовно блоку 3. Блок 3, у свою чергу, є двовходовим диз’юнктором, де складаються значення з 5-ї і 6-ї ліній, а результатом є вихід 6, тобто задана функція.
Рисунок 11.8 – Схемотехнічне зображення функції
Приклад 11.2. Відновити аналітичну форму функції за схемою, зображеною на рис. 11.9:
Рисунок 11.9 – Схемотехнічне зображення функції від 5 змінних
Розв’язок. Для зручності опису схеми слід перенумерувати вхідні канали, внутрішні проміжні лінії, вихід, а також логічні блоки, при цьому номер блоку вказується в нижньому правому куті (рис. 11.10):
Рисунок 11.10 – Нумерація каналів і блоків на схемі з рис. 11.9
У блоці 1 виконується логічне додавання значень вхідних каналів 1 і 2, а потім результат інвертується, тобто вихід 6 відповідає виразу .
У блоці 2 перемножуються значення 3-го й 4-го каналів і результат інвертується: .
Результати з першого й другого блоків використовуються як вхідні канали (лінії 6 і 7 відповідно) для блоку-диз’юнктора 3, де вони складаються, і результатом при цьому є вихід 8: .
Блок 4 є кон’юнктором, на який як вхідні змінні подаються значення каналів 8 і 5, де останнім каналом є змінна . Таким чином, результат –вихід 9 – описується таким логічним виразом:
.
11.5 Контрольні запитання й завдання
1. Як визначається фізичний зміст функцій кон’юнкція, диз’юнкція, інверсія в термінах логічних операторів?
2. Перелічіть основні логічні примітиви, які використовуються при синтезі логічних схем.
3. Які IEEE-стандарти логічних блоків використовуються для опису логічних схем?
4. Які основні властивості суми за модулем два?
5. Як визначається функція Шефера?
6. Як визначається функція Веба?
12 Способи зображення булевих функцій
Розглядаються основні способи зображення булевих функцій (БФ) для опису цифрових проектів: табличний, числовий, аналітичний, геометричний, кубічний, схемотехнічний. Визначається зв’язок між ними.
12.1 Табличний спосіб зображення булевих функцій
Булева функція може задаватися за допомогою таблиці істинності. У цьому випадку напроти двійкових наборів, де функція приймає значення 1, вказуються 1, напроти інших наборів – нульові значення функції.
Приклад 12.1. Нехай функція від трьох змінних представлена таблицею істинності:
З таблиці видно, що дана функція приймає значення 1 на 0-му, 3-му і 4-му двійкових наборах, на інших наборах значення функції дорівнюють нулю. При цьому не зазначено, яким аналітичним виразом задана функція.