1.3 Алгебра множин Кантора

Визначення 1.4. Алгебра А є сукупністю носія N і сигнатури S:. Сигнатура задає набір операцій над елементами з носія, які діють за певними правилами.

Множини у сукупності з операціями об'єднання , перетинанняй доповнення – абоутворюютьалгебру множин Кантора. Порядок операцій: 1) –; 2); 3). Дані операції утворюють базис в алгебрі множин Кантора. Інші операції (різниця \ і симетрична різниця) можуть бути виражені через базисні.

Операції над множинами вводяться за такими правилами:

1. Перетинання складається із всіх елементів , які належать одночасно двом множинамі(рис. 1.4, а):

. (1.2)

2. Об'єднання складається із всіх елементів , які належать множиніабо множині(рис. 1.4, б):

. (1.3)

3. Доповнення визначається через теоретико-множинну різницю (рис. 1.4, в):

. (1.4)

4. Вирахування (теоретико-множинна різниця, рис. 1.4, г) складається із всіх елементів, які належать зменшуваній множині, але не належать віднімаючій множині

. (1.5)

Зв’язок з базисними операціями перетинання й різниці встановлюється за формулою:

. (1.6)

5. Симетрична різниця (рис. 1.4, д):

. (1.7)

Для симетричної різниці мають місце формули, що встановлюють зв’язок з базисними операціями:

. (1.8)

Діаграма Ейлера для симетричної різниці зображено на рис. 1.4, д.

Рисунок 1.4 – Ілюстрація результатів теоретико-множинних

операцій на діаграмах Ейлера

1.4 Закони й тотожності алгебри множин

1. Комутативність:

,. (1.9)

2. Асоціативність:

,. (1.10)

3. Дистрибутивність (розподільний закон):

,. (1.11)

4. Ідемпотентність (повторення, тавтологія):

. (1.12)

5. Операції з константами (як константи виступають порожня й універсальнамножини):

,,,. (1.13)

6. Закон виключеного третього:

. (1.14)

7. Закон протиріччя:

. (1.15)

8. Інволюція:

. (1.16)

9. Закон Де Моргана:

,. (1.17)

10. Елімінація (поглинання):

,. (1.18)

11. Склеювання:

,. (1.19)

12. Закони Порецького:

,. (1.20)

Для об'єднання й перетинання множин справедливі такі формули обчислення потужності:

, . (1.21)

Порожня й універсальна множини вводяться для замкнутості теоретико-множинних операцій. Це означає, що результат застосування цих операцій є елемент тієї ж природи, що й об'єкти з носія. Таким чином, алгебра множин Кантора замкнута щодо введених операцій.

1.5 Контрольні запитання

1. Як визначається множина?

2. Чи можуть повторюватися елементи множини?

3. Які існують способи задання множин?

4. Чому дорівнює потужність множини?

5. Чим характеризується невласна підмножина?

6. Яка множина є власною?

7. Чи є множина невласною підмножиною самого себе?

8. Коли дві множини є рівними?

9. Які теоретико-множинні операції є базисними?

10. Як визначається пріоритет операцій алгебри Кантора?

11. Чи є поняття потужності множини і його кардинального числа ідентичними?

12. Як формулюються закони й тотожності алгебри множин?

13. Як ілюструються теоретико-множинні операції за допомогою діаграм Ейлера?

14. Яка множина називається булеаном?

15. Яка формула використовується для обчислення потужності булеана?