6.2 Дедекиндові (модулярні) структури

Визначення 6.10. Структура називаєтьсядедекиндовою (модулярною) тоді й тільки тоді, коли вона має властивість дедекиндовості(модулярності), тобто умові

. (6.3)

Критерій дедекиндовості структури: структурадедекиндова тоді й тільки тоді, коли вона не містить підрешітки виду(або ізоморфної їй структури), що містить елемент нульової висоти (1), два елементи одиничної висоти (2,3) і по одному елементу, висота яких 2 і 3 (рис. 6.3).

Рисунок 6.3 – Структураіз критерію дедекиндовості

У структурі існують елементи, для яких умова дедекиндовості не виконана, а саме:,. Перевіримо це:

6.3 Дистрибутивні структури

Визначення 6.11.Структураназиваєтьсядистрибутивною, якщо вона задовольняє властивості дистрибутивності, тобто якщо для будь-яких трьох її елементіввиконані тотожності:

,. (6.4)

Критерій дистрибутивності структури: структурадистрибутивна тоді й тільки тоді, коли вона дедекиндова й не містить підструктури виду(або ізоморфної їй структури), що містить три ланцюги довжини 2 та складаються з одного елемента нульової висоти, трьох елементів одиничної висоти, одного елемента висоти 2 (рис. 6.4), тобтодистрибутивна.

Рисунок 6.4 – Структураіз критерію дистрибутивності

У структурі існують елементи, для яких властивість дистрибутивності не виконується:

6.4 Ізоморфізм множин

Визначення 6.12. Множинийізоморфні,якщо існує взаємо-однозначна відповідністьі зворотна відповідністьтакі, що

;

.

Визначення 6.13. Упорядковані множинийізоморфні,якщо між ними існує ізоморфізм, що зберігає порядок, тобто

,

;

інакше, ізоморфізм двох упорядкованих множин і спостерігається при взаємо-однозначній відповідності між і , коли з порівнянності прообразів випливає порівнянність їхніх образів і навпаки: із треба .

Приклад 6.4. Будь-які дві алгебри, утворені множинамийоднакової потужності, ізоморфні (операції однакові, а відображення – взаємо-однозначна відповідність множин-носіїв).

Поняття ізоморфізму є одним з важливих у математиці. Його сутність можна виразити так: якщо алгебри й ізоморфні, то елементи й операції в алгебрі можна перейменувати так, що співпадає з .

Будь-яке еквівалентне співвідношення в довільній алгебрі зберігається й у будь-якій ізоморфній їй алгебрі, що дозволяє автоматично поширювати такі співвідношення у вихідній алгебрі на всі ізоморфні їй алгебри. Це дає можливість розглядати об'єкти з точністю до ізоморфізму, тобто розглядати тільки ті властивості об'єктів, які зберігаються при ізоморфізмі. Зокрема, ізоморфізм зберігає такі властивості операцій як асоціативність, комутативність, дистрибутивність.

6.5 Контрольні запитання

1. Як визначається структура?

2. Які закони визначають структуру як булеву алгебру?

3. Як формулюється властивість дедекиндовості структури?

4. Як формулюється критерій дедекиндовості структури?

5. Як визначається структура, на якій заснований критерій дедекиндовості?

6. Як визначається властивість дистрибутивності структури?

7. Як формулюється критерій дистрибутивності структури?

8. Які структури використовуються в критерії дистрибутивності?

9. Що називається інтервалом?

10. Які елементи є додатковими в структурі?

11. Які елементи є структурними нулем і одиницею?

12. Які елементи називаються зв'язаними в структурі?

13. Що таке собою структура як алгебраїчна система?

14. Як визначаються супремум та інфімум для пари порівнянних елементів?

15. Що називається ізоморфізмом множин?

16. Чим характеризується ізоморфізм упорядкованих множин?

17. Чим визначається ізоморфізм алгебр?