9.2 Закони й тотожності булевої алгебри

Для булевої алгебри мають місце наступні закони (з точністю до позначення операцій такі ж, що й для алгебри множин).

1. Комутативність:

,. (9.6)

2. Асоціативність:

,. (9.7)

3. Дистрибутивність (розподільний закон):

,. (9.8)

4. Ідемпотентність (повторення, тавтологія):

,. (9.9)

5. Операції з константами (як константи виступають елементи 0 і 1):

,,,. (9.10)

6. Закон виключеного третього:

. (9.11)

7. Закон протиріччя:

. (9.12)

8. Інволюція (подвійне заперечення):

. (9.13)

9. Закон Де Моргана:

,. (9.14)

10. Елімінація (поглинання):

,. (9.15)

11. Склеювання:

,. (9.16)

12. Закони Порецького (Блейка-Порецького):

,. (9.17)

9.3 Доведення законів булевої алгебри

Справедливість законів може бути встановлена за допомогою таблиць істинності. Ідея доказу полягає в наступному. У загальній таблиці істинності послідовно виконуються обчислення для лівої, а потім для правої частин рівності. Отримані стовпці значень мають бути однаковими.

Приклад 9.2. Довести дистрибутивний закон за допомогою таблиці істинності.

Доведення. Ліва й права частини дистрибутивного закону містять три змінні. Слід скласти таблицю істинності, що включає 8 двійкових наборів (табл. 9.7).

Таблиця 9.7 – Доказ дистрибутивного закону

З таблиці істинності видно, що стовпці значень для лівої (LHS) і правої (RHS) частин рівностей збігаються.

Приклад 9.3. Використовуючи дистрибутивний закон, установити справедливість закону Блейка-Порецького аналітично.

Доведення. Щоб розкрити дужки в правій частині рівності, необхідно послідовно застосувати дистрибутивний закон, закон протиріччя та дії з константами:

,

що й було потрібно довести.

9.4 Контрольні запитання

1. Які змінні є булевими?

2. Як визначається булева функція?

3. Скільки двійкових наборів містить булева функція від n змінних?

4. Які існують основні логічні операції? Як вони позначаються?

5. Як задаються логічні функції за допомогою таблиць істинності?

6. На яких двійкових наборах кон’юнкція обертається на нуль?

7. На яких двійкових наборах диз’юнкція дорівнює одиниці?

8. Чому дорівнює сума за модулем два n змінних ?

9. Як установлюється пріоритет логічних операцій?

10. Як формулюються закони булевої алгебри?

11. У якому алфавіті визначається алгебра логіки?

12. Чому дорівнює: , , ?

13. Скільки рядків містить таблиця істинності функції f(a,b,c)?

14. Скільки рядків містить таблиця істинності функції f(a,b,c,d)?

15. За якою формулою визначається зв'язок суми за модулем два з інверсією, кон’юнкцією, диз’юнкцією?

16. За якою формулою встановлюється зв’язок еквівалентності з інверсією, кон’юнкцією, диз’юнкцією?

17. Які логічні операції є бінарними?

18. На якому двійковому наборі функція імплікація звертається в нуль?

19. Чому дорівнює вираз ?

20. Чому дорівнює вираз ?

21. За якою формулою встановлюється зв’язок імплікації з інверсією та диз’юнкцією?