14.5 Контрольні запитання

1. Як визначаються нульова й одинична залишкові функції?

2. Як визначається похідна 1-го порядку булевої функції?

3. Який фізичний зміст має булева похідна 1-го порядку?

4. Як обчислюється змішана похідна булевої функції?

5. Як визначається булева похідна k-го порядку?

6. Яка фізична інтерпретація булевої похідної k-го порядку?

7. Які похідні слід обчислити, щоб визначити булеву похідну 2-го порядку функції ?

8. Яка аналогія й у чому розходження диференціального числення з булевим диференціальним численням?

15 Мінімізація булевих функцій. Методи квайна і квайна-мак-класки

4. Булеві функції застосувуються при реалізації логічних схем. Різні вирази однієї й тієї ж функції представляють різні схеми.

Приклад 15.1. Нехай булева функція від трьох змінних подана таблицею істинності:

№	х1	х2	х3	f(x1,x2,x3)	№	х1	х2	х3	f(x1,x2,x3)
0	0	0	0	1	4	1	0	0	0
1	0	0	1	0	5	1	0	1	1
2	0	1	0	0	6	1	1	0	1
3	0	1	1	1	7	1	1	1	0

За таблицею істинності можна відновити аналітичне зображення функції у вигляді ДДНФ:

. (15.1)

Отриману ДДНФ можна перетворити до вигляду:

. (15.2)

Схемотехнічне зображення формул (15.1) і (15.2) дає схеми з 12 і 10 контактів відповідно. Таким чином, різні форми функції описують різні схеми. Метою є зменшення кількості елементів у схемі.

Існують спеціальні методи, орієнтовані на одержання мінімальних форм функції. Серед них: Квайна, Квайна-Мак-Класки, невизначених коефіцієнтів, карт Карно, істотних змінних, граф-схем.

15.1 Основні положення методу квайна

Нехай вихідна функція зображена у ДДНФ.

Визначення 15.1. Імпліканта функції – це деяка логічна функція, що обертається на нуль на тому же наборі змінних, на якому дорівнює нулю сама функція.

Будь-який кон’юнктивний терм або група термів, з’єднаних знаками диз’юнкції, що входять у ДДНФ, є імплікантами вихідної функції.

Визначення 15.2. Первинна імпліканта функції – це імпліканта типу елементарної кон’юнкції, ніяка частина якої вже не є імплікантою.

Завдання мінімізації за методом Квайна полягає у попарному порівнянні всіх імплікант, що входять у ДДНФ, з метою виявлення можливості поглинання якоїсь змінної на основі закону склеювання . При цьому вдається понизити ранг термів. Процедура проводиться доти, поки не залишиться жодного члена, що допускає поглинання з іншим термом. Терми, що піддалися поглинанню, відзначаються. Невідмічені терми є первинними імплікантами.

Якщо отриманий логічний вираз не виявився мінімальним, то досліджується можливість подальшого спрощення. Для цього складається таблиця, у рядках якої вказуються знайдені первинні імпліканти, а в стовпцях – терми вихідного виразу. Комірки таблиці відзначаються, якщо первинна імпліканта входить до складу якого-небудь терму. Таким чином, завдання спрощення зводиться до того, щоб знайти таку мінімальну кількість первинних імплікант, які покривають всі стовпці.

Метод Квайна включає такі етапи:

– визначення первинних імплікант;

– розміщення міток;

– знаходження істотних імплікант;

– визначення й видалення зайвих стовпців;

– визначення й видалення зайвих первинних імплікант;

– вибір мінімального покриття;

– складання мінімальної форми вихідної функції.