15.3 Контрольні запитання

1. Що являє собою процес мінімізації булевих функцій?

2. За рахунок чого досягається мінімальна форма функції?

3. Які існують методи мінімізації булевих функцій?

4. Що таке імпліканта (первинна імпліканта)?

5. Які основні етапи методу Квайна?

6. Що таке істотна імпліканта?

7. Як визначаються істотні імпліканти?

8. У чому недолік методу Квайна?

9. Які основні етапи методу Квайна-Мак-Класки?

10. У чому переваги методу Квайна-Мак-Класки?

11. Як виконується вибір мінімального покриття рядків стовпцями в методах Квайна та Квайна-Мак-Класки?

16 Мінімізація булевих функцій: метод невизначених коефіцієнтів

Для мінімізації булевих функцій від невеликої кількості змінних застосовується метод невизначених коефіцієнтів у базисі І-АБО-НІ.

16.1 Основні припущення

Метод використовує наступні основні факти.

Відомо, що будь-яку булеву функцію можна зобразити в диз’юнктивній нормальній формі. Для функції від трьох змінних загальний вигляд ДНФ можна записати так:

(16.1)

Невизначені коефіцієнти розташовані при змінних або їх кон’юнкціях, причому нижні індекси співпадають з індексами змінних, верхній – 0 або 1 залежно від того, чи мають первинні терми інверсії чи ні (0 – змінна під знаком інверсії, 1 – без інверсії). Самі невизначені коефіцієнти також приймають значення 0 або 1 і з метою мінімізації функції підбираються так, щоб отримана ДНФ після цього мала мінімальну кількість букв.

При визначенні ДНФ ураховують властивість: диз’юнкція деякого числа змінних дорівнює нулю, якщо всі вхідні в неї змінні дорівнюють нулю; дорівнює одиниці, якщо хоча б одна змінна дорівнює одиниці:

(16.2)

Оскільки функція від трьох змінних визначена на стандартних 8-двійкових наборах, праву частину формули (16.1) можна перетворити на кожному наборі змінних, у результаті чого виходить система рівнянь:

(16.3)

Якщо функція приймає нульові значення на відповідному наборі змінних , то, згідно з (16.2), всі коефіцієнти, що входять у дане рівняння, дорівнюють нулю. Тоді в інших рівняннях системи (16.3), де , варто також покласти рівними нулю ці коефіцієнти.

Систему (16.3) зручно зобразити у вигляді таблиці (табл. 16.1).

Нижні індекси коефіцієнтів кожного стовпця визначають номер змінних, верхні – відповідають стовпцю значень ціх змінних. В останньому стовпці таблиці вказуються значення функції на відповідному наборі змінних, які визначаються за умовою задачі. Передбачається також, що всі коефіцієнти в довільному рядку пов’язані символами диз'юнкції.

Таблиця 16.1 – Подання системи рівнянь (16.3) за допомогою таблиці