17.2 Спрощений стандарт карт Карно

Поряд зі звичайним уводиться в розгляд спрощений стандарт карт Карно. Замість перерахування двійкових наборів поєднуються за допомогою фігурних стрілок групи, яким відповідають одиничні значення змінних (рис. 17.4).

а б в

Рисунок 17.4 – Спрощений стандарт карти Карно для функції: а – від двох змінних; б – від трьох змінних; в – від чотирьох змінних

Приклад 17.2. Навести функцію на карті й одержати СДНФ.

Розв’язок. Якщо скористатися спрощеним стандартом карт Карно, зображення функції виглядатиме так:

,

а відповідна ДДНФ при цьому:

.

Таким чином, для спрощення позначень рядки й стовпці, що містять змінну 1, позначають фігурною дужкою. При цьому значення 0 ця змінна має у невідмічених комірках.

17.3 Мінімізація за картами Карно

Комірки з одиницями на карті називаються Р-клітинками.

Дві сусідні одиниці утворюють одномірний р-підкуб або 1-куб. Одновимірний р-підкуб відповідає добутку, у якому завжди відсутній один первинний терм.

Змінна, відсутня у добутку, визначається за картою – вона має різні значення для двох одиниць відповідного підкуба.

Приклад 17.3. Зобразити функцію на карті Карно.

Розв’язок. Відзначимо одиничні значення функції на карті, помістивши їх у другу й третю комірки (рис. 17.5).

Рисунок 17.5 – Одновимірний р-подкуб або 1-куб

При цьому видно, що дві одиниці попадають у сусідні комірки й утворюють 1-куб. Вони обводяться мінімізуючим контуром. Отже, зображення функції буде таким: .

Чотири сусідні одиниці утворюють двовимірний р-підкуб (2-куб), що відповідає добутку без двох первинних термів. Ті змінні, які не зберігають постійне значення на цьому підкубі, не вказуються.

Приклад 17.4. Знайти аналітичний вираз, що відповідає 2-кубу на карті Карно (рис. 17.6).

Рисунок 17.6 – Двовимірний р-підкуб або 2-куб на карті Карно 4-х змінних

Розв’язок. Одиниці попадають у кутові комірки карти, які є сусідніми. Спільними для всіх чотирьох комірок є , чому відповідає кон’юнктивний терм , що описує 2-куб. Отже, мінімальна форма функції, отримана за картою: .

Тривимірні р-підкуби містять по 8 одиниць (3-куб).

Приклад 17.5. Блок з 8-ми одиниць підлягає склеюванню з одержанням 3-кубу (рис. 17.7).

Рисунок 17.7 – Тривимірний р-підкуб або 3-куб

При цьому мінімальна форма функції описується виразом, якому відповідає єдиний превинний терм: .

Одновимірний р-підкуб відповідає ребру, що має дві сусідні вершини. Двовимірний р-підкуб відповідає двовимірному підкубу n-вимірного куба.

Правила мінімізації:

1) Дві сусідні комірки на карті утворюють 1-куб.

2) Несуттєва координата для двох кубів позначається символом X. Наприклад: .

3) Чотири комірки поєднуються та утворюють 2-куб:

.

4) У загальному випадку можуть поєднуватися сусідні комірки, число яких дорівнює , тобто 2,4,8,16,32,..., з утворенням k-кубів, де – кількість змінних функції.

Стратегія одержання мінімальної ДНФ за картою Карно: треба мінімальною кількістю кубів покрити (склеїти) всі одиничні комірки карти, де кожна склейка повинна містити максимально можливе число одиниць.