3.4 Контрольні запитання
1. Що
називається
-місцевим
відношенням?
2. Які відношення називаються сумісними?
3. Які існують операції над відношеннями?
4. Що таке реляційна алгебра?
5. Для чого призначена алгебра відношень?
6. Для яких операцій над відношеннями умова сумісності є обов'язковою?
7. Для яких операцій над відношеннями умова сумісності не є обов'язковою?
8. Які існують спеціальні операції над відношеннями?
9. З яких елементів складаються відношення?
10. Як визначається об'єднання відношень?
11. Як визначається перетинання відношень?
12. Як визначається різниця відношень?
13. Що таке розширений декартів добуток відношень?
14. Як визначається конкатенація векторів?
15. Чому дорівнює потужність розширеного декартова добутку відношень?
16. Як визначається операція вибору?
17. Як визначається проекція відношення за доменом?
18. Як визначається проекція відношення за декількома доменами?
19. Як визначається операція з'єднання?
20. Чому дорівнює ступінь розширеного декартова добутку відношень?
4 Бінарні відношення
Бінарні (або двомісні) відношення часто застосовуються на практиці та є добре вивченими.
Визначення
4.1. Бінарним відношенням
на множині 
називається підмножина декартова
квадрата множини 
:
.
4.1 Способи завдання бінарних відношень
Бінарні відношення можна задати такими способами.
Спосіб 1. Перерахування елементів, якими утворене відношення. Як елементи бінарного відношення виступають упорядковані пари.
Приклад
4.1. Бінарне відношення
на множині 
задано перерахуванням упорядкованих
пар: 
.
Спосіб 2. Матриця суміжності.
Визначення
4.2. Матриця суміжності
бінарного відношення 
на множині 
– це квадратна таблиця розміру 
(
– потужність множини, на якому задане
бінарне відношення), де елемент 
,
що розташований на перетинанні 
-го
рядка та 
-го
стовпця, визначається таким чином:
(4.1)
Отже,
кожна комірка
взаємно однозначно відповідає елементам
декартова квадрата. Комірку
,
що відповідає елементу, який належить
відношенню
,
відзначають одиницею, в інші клітинки
поміщають нулі.
Приклад
4.2. Дана
множина 
та її декартів квадрат: 
.
На множині 
розглядається бінарне відношення 
.
Матриця суміжності бінарного відношення
має вигляд:
.
Спосіб 3. Граф. Бінарне відношення можна задати за допомогою графової діаграми.
Визначення
4.3. Граф
– це сукупність множини 
із заданим на ньому бінарному відношенні
:
,
де 
– носій графа (сукупність вершин), 
– сигнатура графа (сукупність дуг).
Сигнатура встановлює зв'язок між вершинами графа. Графом також називається і графова діаграма, якою він зображується: вершини позначаються крапками, упорядковані пари вершин – дугами, де дуга спрямована з вершини, що розташована на першій позиції в упорядкованій парі, у вершину, яка розташована на другій позиції.
Приклад
4.3. Граф бінарного
відношення 
,
заданого на множині 
(див. приклад 4.2) має вигляд (рис. 4.1):
Рисунок 4.1–Граф бінарного відношення із прикладу 4.3
Розглянемо наступний приклад, що ілюструє інформаційний обмін між пристроями ЕОМ, блок-схема якої вперше була запропонована Джоном фон Нейманом.
Приклад
4.3. Дано множину 
.
Тут 
– пристрій уведення;
– процесор (арифметичний
пристрій); 
– пристрій
керування; 
– запам'ятовувальний
пристрій; 
– пристрій виведення.
Відношення 
на множині 
:
.
(4.2)
можна задати за допомогою графа (рис. 4.2):
Рисунок 4.2 – Інформаційний обмін між пристроями ЕОМ
Спосіб 4. Фактор-множина
Визначення
4.4. Околиця одиничного
радіуса елемента 
– це сукупність елементів 
таких, що 
:
.
(4.3)
Визначення
4.5. Фактор-множиною
(
або 
)
множини 
за бінарним відношенням R називається
сукупність околів одиничного радіуса
для всіх елементів множини 
при заданому на ньому бінарному відношенні
:
.
(4.4)
Приклад 4.4. Для бінарного відношення (4.2) із прикладу 4.3 фактор-множина подається так:
,
де
у верхньому рядку розташовані елементи
множини 
,
на якому задане бінарне відношення, у
нижньому – околи одиничного радіуса
відповідних елементів.