3 Відношення. Алгебра відношень

3.1 Поняття відношення

Фундаментальним у дискретній математиці є поняття відношення, що використовують для позначення зв’язку між об’єктами або іншими поняттями.

Визначення 3.1. Підмножина називається -місцевим відношеннямна множині, де індексвизначає ступінь відношення ().

Елементи перебувають у відношенні, якщо. При цьому:– n-арне відношення;– тернарне відношення;– бінарне відношення.-місцеве відношення утворене векторами однакової довжини, тобто-мірними векторами.

Часто індекс у позначенні відношення опускається. Як правило, відношення позначаються великими літерами латинського алфавіту або малими літерами грецького алфавіту.

3.2 Операції над відношеннями

Відношення у сукупності з операціями утворюють реляційну алгебру(алгебру відношень), що використовується для побудови реляційних баз даних, а також для компіляторів, операційних систем. Носій реляційної алгебри– множина відношень; сигнатура– набір операцій над відношеннями: об'єднання, перетинання, різниця, розширений декартів добуток.

Визначення 3.2. Відношенняіназиваютьсясумісними, якщо вони мають однаковий ступінь, який визначається -арністю відношень:– бінарне відношення (ступінь 2);– n-арне відношення (ступінь n).

Для сумісних відношень мають місце ті ж операції, що й для множин. Розглянемо ,(або).

Визначення 3.3.Об'єднання відношень – множина всіх векторів (кортежів), кожний з яких належитьабо:

. (3.1)

Визначення 3.4.Перетинання відношень– множина всіх векторів, кожний з яких належить одночасно як, так і:

. (3.2)

Визначення 3.5.Різниця відношень– множина всіх векторів, що належатьі не належать:

. (3.3)

Визначення 3.6. Доповненнябінарного відношеннядо універсального відношенняє різниця:

. (3.4)

Формулу (3.5) можна поширити на -місцеве відношення:

. (3.5)

Визначення 3.7.Розширений декартів добутоквідношень(іможуть бути несумісними) – множина всіх векторівтаких, що– конкатенація кортежуз кортежем(конкатенація кожного вектора з кожним):

. (3.6)

Потужність розширеного декартова добутку визначає кількість векторів у ньому й обчислюється як добуток потужностей співмножників:

. (3.7)

Ступінь розширеного декартова добутку визначається сумою ступенів відношень-множників (та визначає довжину векторів):

. (3.8)

Приклад 3.1.Дані сумісні тернарні відношення:

,.

Потрібно визначити об'єднання, перетинання, різницю відношень і. Згідно з (3.1) – (3.3) об'єднання дає:

;

;

.

Приклад 3.2.Дані множини,, їх декартові квадрати дорівнюють:

;.

Нехай бінарні відносини йзадані таким способом:

– універсальне відношення,

.

Тоді доповнення відношення до універсального відношеннявизначається за формулою (3.4):

.

Приклад 3.3.Бінарне відношенняй тернарне відношеннязадані так:

,.

Тоді розширений декартів добуток визначається згідно з (3.6) як конкатенація таким чином:

.

3.3 Алгебра відношень

Алгебра відношень і модель(множина із заданим відношенням) знаходять широке застосування при формалізації реальних об'єктів, при створенні інформаційного забезпечення – розробці інформаційної бази даних. Основою побудови реляційної бази даних є двовимірна таблиця, кожний стовпчик якої відповідає домену (або атрибуту, що відповідає частині домену), рядок – кортежу значень атрибутів, що перебувають у відношенні.

Приклад 3.4. Таблиця визначає відношення реляційної моделі даних

або

, (3.9)

де відношення п'ятого ступеня , у якому співмножник – стовпець – є доменом. Його елементами служать значення атрибутів. Порядок стовпців у таблиці фіксований, рядки в загальному випадку можуть розташовуватися довільно (рядки таблиці – кортежі, стовпці – осі або домени).

Носій реляційної алгебри є множина відношень, сигнатура, крім уведених операцій (об'єднання, перетинання, різниці, розширеного декартова добутку), включає спеціальні операції над відношеннями: вибір, проекція й з'єднання.

Відповідно до потреб практики вводяться й інші операції: обмін позиціями; подвоєння позицій; згортка, композиція.

Визначення 3.8. Операція вибору є процедурою побудови “горизонтальної”підмножини відношень, тобто підмножини кортежів, що мають задану властивість.

Для визначення проекції відношеннямножина у реляційній алгебрі розбивається на дві підмножини у випадку бінарного відношення або напідмножин у випадку-арного:

;

.

Визначення 3.9. Проекцієюбінарного відношенняна множинуназивається сукупність елементів, розташованих в упорядкованих парах на перших позиціях:

. (3.10)

Проекція за одним доменом визначає сукупність елементів і не є відношенням.

Визначення 3.10. Проекцією-арного відношенняна множини() називається сукупність кортежів, де, кожний з яких є частиною елемента-арного відношення:

. (3.11)

Операція проекції визначає побудову “вертикальної” підмножини відношення, тобто сукупності кортежів, що здобуваються вибором одних і виключенням інших доменів.

Проекція за двома та більш доменами є відношенням ступеня 2 та більше залежно від кількості стовпців, за якими ведеться проектування.

Визначення 3.11. Операція з'єднання за двома таблицями, що має спільний домен, дозволяє побудувати одну таблицю, кожний рядок якої утворюється з'єднанням двох рядків вихідних таблиць. Із заданих таблиць беруть рядки, що містять ті самі значення із загального домену, якому зіставляється один стовпець.

Запит у реляційній базі даних буде виконаний тим швидше, чим менше операцій над відношеннями він містить.

Приклад 3.5. Для відношенняу формі (3.9) визначити результати виконання таких операцій:– вибір за доменомпри значенні;– проекція за доменом;– проекція за двома доменами,;– з'єднання за доменом D₁за умовою «дорівнює», для двох таблиць(перші чотири кортежі) і(другі чотири кортежі).

Розв’язок. Відповідно до визначення 3.8, результат вибору за доменом являє собою відношенням ступеня 5, що складається з векторів, у яких на 3-й позиції розташовується координата :

.

Результат проектування відношення за доменом відповідно до визначення 3.9 є сукупність елементів, з яких складається стовпець : .

Результат проектування відношення за доменами,відповідно до визначення 3.10 є сукупність упорядкованих пар:

.

Згідно з визначенням 3.11, результат виконання операції з'єднання за доменом за умови рівності для двох таблиць(перші чотири кортежі) і(другі чотири кортежі) є сукупністю векторів, утворених послідовною конкатенацією векторів із двох зазначених підтаблицьі:

.

Результати дії операцій є відношеннями, тобто не виводять із множини відношень. Результат дії операції проекції за доменом не є відношенням, тобто застосування даної операції виводить із множини відношень.