13.2 Повнота функцій алгебри логіки

Визначення 13.15. Система функцій алгебри логікиназиваєтьсяфункціонально повною, якщо кожна ФАЛзможе бути реалізована формулою, що містить тільки символи функцій із цієї системи.

Приклад 13.6. Функціонально повними є системи:

,,.

Теорема Поста-Яблонського (критерій функціональної повноти). Для того щоб ФАЛ була повною необхідно й достатньо, щоб вона містила хоча б одну функцію, яка

1) не зберігає нуль – ;

2) не зберігає одиницю – ;

3) нелінійну – ;

4) немонотонну – ;

5) несамодвоїсту – .

Визначення 13.16. Повна система ФАЛ, за допомогою якої кожна ФАЛ може бути зображена суперпозицією вихідних функцій, називаєтьсябазисом.

До базису відносяться системи функцій:

базис 1: І, АБО, НІ ;

базис 2 (кон’юнктивний базис Буля): І, НІ ;

базис 3 (диз’юнктивний базис Буля): АБО, НІ ;

базис 4 (базис Шефера): функція Шефера ;

базис 5 (базис Веба): функція Веба ;

базис 6 (базис Жегалкіна):

Базис 1 надлишковий, базиси 4 і 5 мінімальні (видалення хоча б однієї функції перетворює систему ФАЛ у неповну).

Таким чином, всі названі вище класи функцій мають таку властивість: кожна ФАЛ, отримана за допомогою операції суперпозиції й підстановки з функцій одного класу, обов'язково належатиме цьому ж класу.

Поліноміальна форма орієнтована на технології тестування цифрових систем з використанням активізації або визначення булевих похідних.

Класи булевих функцій є теоретичною основою трансформування опису цифрової системи в різні аналітичні форми.

Функціональна повнота визначає інваріантність зображення цифрового пристрою за допомогою різних наборів бінарних і унарної операцій.

13.3 Контрольні запитання

1. Які існують класи булевих функцій?

2. Як визначається клас функцій, що зберігають нуль?

3. Які функції зберігають константу одиниця?

4. Що таке двоїста функція?

5. Як визначається властивість самодвоїстості?

6. Які двійкові набори є протилежними?

7. Що таке поліном?

8. Що таке поліном Жегалкіна?

9. Як формулюється теорема Жегалкіна?

10. Як визначається поліном першого ступеня?

11. Що таке лінійна функція?

12. Як формулюється властивість монотонності булевої функції?

13. Як визначається клас монотонних функцій?

14. Як виконується перевірка самодвоїстості функції за допомогою таблиці істинності?

15. Як одержати функцію, двоїсту стосовно даної?

16. Скільки існує лінійних функцій від змінних?

17. Як визначається функціональна повнота?

18. Яка система функцій називається базисною?

19. Яка теорема визначає критерій функціональної повноти?

20. Як формулюється критерій функціональної повноти?

21. Як виконується перевірка монотонності функції за допомогою гіперкуба?

14 Булеві похідні

Математичний апарат булевою диференціального числення використовується в структурно-аналітичних методах синтезу тестів, що перевіряють, для комбінаційних пристроїв. Булеві похідні дозволяють аналітично виразити умови активізації шляхів у схемі.