16.2 Алгоритм знаходження невизначених коефіцієнтів

Алгоритм включає такі етапи:

1. Цикл за рядками – перегляд нульових рядків: вибрати рядок системи (16.3), у якій функція приймає нульове значення . Дорівняти нулю всі коефіцієнти цього рядка.

2. Якщо всі нульові рядки переглянуті, то перейти до пункту 3, інакше – повернутися до пункту 1.

3. Викреслювання рівних нулю коефіцієнтів з рядків з одиницями: із всіх рядків, де , викреслити рівні нулю коефіцієнти, визначені в пункті 1.

4. Модифікована система рівнянь: переписати систему (16.3) з урахуванням виконаних перетворень.

5. Вибір мінімального покриття: у модифікованій системі вибрати й покласти рівними одиниці мінімальну кількість коефіцієнтів з мінімальним числом індексів, щоб задовольнити дану систему.

6. Визначення мінімальної форми функції: скласти мінімальну ДНФ за обраними коефіцієнтами.

Приклад 16.1.Мінімізувати функцію від трьох змінних Y=1 на наборах {1, 2, 3, 4} методом невизначених коефіцієнтів з одержанням МДНФ.

Розв’язок. Таблицю невизначених коефіцієнтів можна зобразити у спрощеному вигляді (табл. 16.2).

Таблиця 16.2 – Спрощений вигляд таблиці функції для методу невизначених коефіцієнтів

Тут у заголовок таблиці винесені з відповідних стовпців невизначені коефіцієнти із спільними нижніми індексами, верхні індекси при цьому зберігаються у відповідних комірках кожного стовпця.

Коефіцієнти рядків, де , дорівнюють нулю. З рядків, де, викреслюються коефіцієнти, що зустрічаються в рядках, де.

Виписуються коефіцієнти, що залишилися, з одержанням тим самим модифікованої системи:

(16.4)

З (16.4) мінімальний результат відповідає формі:

.

16.3 Контрольні запитання

1. На яких основних положеннях базується метод невизначених коефіцієнтів?

2. Яке узагальнене подання ДНФ функції від трьох змінних?

3. Які основні етапи алгоритму знаходження невизначених коефіцієнтів?

4. У якому базисі має бути подана функція, щоб для мінімізації можна було застосувати метод невизначених коефіцієнтів?

5. Коли диз’юнкція деякої кількості коефіцієнтів дорівнює нулю?

6. Коли диз’юнкція деякої кількості коефіцієнтів дорівнює одиниці?

7. Як вибирається розв’язок модифікованої системи рівнянь у методі невизначених коефіцієнтів?

8. Скільки рядків має вихідна система рівнянь при мінімізації функції від чотирьох змінних методом невизначених коефіцієнтів?

9. Що таке мінімальне покриття в методі невизначених коефіцієнтів?

17 Мінімізація булевих функцій: метод карт карно

Для мінімізації булевих функцій використовується метод мінімізуючих карт, які називаються картами Карно. Заснований на графічному зображенні булевих функцій від невеликого числа змінних, де коди змінних у сусідніх координатах завдання функції є сусідніми.

17.1 Основні положення

Таблиці істинності функції від двох, трьох і чотирьох змінних можуть бути перебудовані в карти Карно (рис. 17.1 – 17.3).

Рисунок 17.1 – Карта Карно для функції від двох змінних

Рисунок 17.2 – Карта Карно для функції від трьох змінних

Рисунок 17.3 – Карта Карно для функції від чотирьох змінних

Карти Карно мають такі властивості:

1. Карти організовані так, що сусідні за рядками або за стовпцями клітинки відрізняються значенням тільки однієї змінної.

2. Якщо дві комбінації значень змінних відрізняються тільки за однією координатою, то клітинки є сусідніми.

3. У карті Карно дві змінні клітинки на протилежних кінцях карти також є сусідніми. Ця властивість зберігається для карт Карно трьох і чотирьох змінних: протилежні кінці кожного рядка або стовпця є сусідніми.

Для зображення функції на карті достатньо у ті клітинки, де функція дорівнює одиниці, помістити одиниці. Вважається, що в інших клітинках розташовані нулі.

Приклад 17.1. Зобразити функцію на карті Карно.

Розв’язок. Функція від двох змінних зображена числовим способом. Щоб навести дану функцію на Карті, треба в 1-у та 2-у комірки карти Карно для двох змінних помістити одиничні значення функції, як показано нижче:

Зауваження: тут і далі номера осередків, які відповідають двійковим наборам, опускаються для спрощення запису.

За картою, як і за таблицею істинності, можна відновити аналітичну форму функції у вигляді ДДНФ:

.