2.4 Функції. Відображення

Визначення 2.15.Функцієюназивається функціональна відповідність

, (2.8)

де х – аргумент; у – значення функції на елементі х.

Визначення 2.16.Відображенняммножинив множинуназивається всюди визначена функція;– образ множинипри відображенні.

Приклад 2.14. Відповідність(рис. 2.7) є функціональною (функцією), оскільки кожному прообразу відповідає єдиний образ; всюди визначеною, тому що; отже, f– відображення; не є сур’єктивною:(елемент d не має прообразу в множині).

Рисунок 2.7 – Приклад функції і відображення

Визначення 2.17.Якщо для відповідностііснує відповідністьтака, щотоді й тільки тоді, коли, тодівідповідністьназиваєтьсязворотноюдоі позначається, тобто

.

Визначення 2.18.Зворотною функцієюназивається відповідність,зворотна до функції , тобто якщо зворотна до відповідність є функціональною,то вона називається зворотною функцією й позначається.

Приклад 2.15.Різні види кодування (кодування букв абеткою Морзе, подання чисел у різних системах числення, секретні шифри, вхідні та вихідні номери в діловій переписці) є відповідностями між кодованими об’єктами й кодами, що привласнюються їм. Ці відповідності, як правило, мають всі властивості взаємо-однозначної відповідності, крім сур’єктивності. Єдиність образу й прообразу в кодуванні гарантує однозначність шифрування й дешифрування. Відсутність сур’єктивності означає, що не кожний код має сенс. Наприклад, кодування телефонів сьомизначними номерами не є сур’єктивним, оскільки деякі номери не відповідають ніяким телефонам. Для кодувальної функції, що кожному об'єкту зі своєї області значень ставить у відповідність деякий код, зворотною буде декодувальна функція, що кожному коду ставить у відповідність закодований цим кодом об’єкт. Якщо кодувальна функція, не є сур’єктивною, то декодувальна функція не всюди визначена.

Визначення 2.19.Нехай дані функціїй. Функціяназиваєтьсякомпозицієюфункційі(позначення), якщо має місце рівність, де. Композиція є послідовне застосування функційі, при цьомузастосовується до результату функції.

Приклад 2.16.Розглядається триелементна множинаі два перетворенняйцієї множини:і, де записозначає, що елементуставиться у відповідність елемент, тобтопереходить у. Для задання перетворення кінцевих множин використовується запис:,. Композиція перетворень – є нове перетворення:,.

Приклад 2.17.При діагностуванні мікросхем напівпровідникової пам’яті роботу дешифратора адреса можна подати у виглядіграфа адресної дешифрації, що показує відповідність між адресами й елементами пам’яті. При правильній роботі спостерігається взаємо-однозначна відповідність між призначеною адресою ліворуч і місцем елемента праворуч (рис. 2.8, а). При несправності дешифратора спостерігається порушення взаємо-однозначної відповідності в графі адресної дешифрації (рис. 2.8, б).

а б

Рисунок 2.8 – Граф адресної дешифрації: а – випадок справної схеми;

б – випадок з несправністю

2.5 Контрольні запитання

1. Чи можуть повторюватися елементи вектора?

2. Як визначається довжина вектора?

3. Як визначається декартів добуток двох множин?

4. Як визначається декартів добуток множин?

5. Що є елементами декартова добутку двох множин?

6. Що є об'єктами декартова добутку множин?

7. Як визначається вектор?

8. Як визначається довжина (розмірність) вектора?

9. Чому дорівнює потужність декартова добутку множин?

10. Чи є декартів добуток множин комутативним?

11. Що являє собою декартовий ступінь?

12. Чи правильно: ?

13. Що таке відповідність?

14. Що називається проекцією вектора на -у вісь?