2 Відповідності. Функції. Відображення

2.1 Поняття впорядкованої пари й вектора

Під вектором (кортежем) слід розуміти впорядкований набір елементів , де – координати або компоненти вектора.

Розмірність(довжина вектора) визначається кількістю його координат.

Два вектори (кортежі) однакової розмірності рівні, якщо їхні відповідні компоненти рівні, тобто виконується покоординатна рівність:

.

Під упорядкованою пароюслід розуміти вектори розмірності два, тобто упорядкована пара– двоелементна упорядкована множина. Упорядкована пара є одним з первинних понять у теорії множин.

Визначення 2.1.Проекцією векторана i-у вісь називається його i-й компонент (i-а координата):.

Визначення 2.2. Нехай – множина векторів однакової довжини, тоді проекцією множини на i-у вісь називається сукупність проекцій всіх векторів з V на на i-у вісь: .

Приклад 2.1. Координати точки площини утворюють упорядковану пару:. Вони вказуються у фіксованому порядку: на першій позиції – абсциса, на другій – ордината, які є проекціями на першу й другу осі відповідно (рис. 2.1):,.

Рисунок 2.1 – Проекції точки площини на осі

Видно, що упорядковані пари йрізні:.

Приклад 2.2.Розглядається множинавекторів розмірності три (тривимірні вектори):. Потрібно знайти проекції множинина осі.

Розв’язок. Проекціяна першу вісь визначається як сукупність координат, що займають перші позиції у векторах з множини:. Аналогічно визначаються проекції на другу й третю осі. Оскільки елементи множини не повторюються, однакові координати, що розташовуються на тих самих позиціях у різних векторах, ураховуються один раз:,.

2.2 Декартів (прямий) добуток множин

Поряд з операціями (1.2) – (1.8) впроваджується операція декартова (прямого) добутку множин.

Визначення 2.3.Прямий (декартів) добутокдвох множин A і B є множина всіх партаких, що,:

. (2.1)

Приклад 2.3.Дано множини,. Складемо їх декартів добуток за правилом (2.1):.

Приклад 2.4.Декартів добутокмножин,є множина, що містить позначення всіх 64 клітинок шахівниці.

Приклад 2.5. Координатне подання точок площини, що ввів Рене Декарт –французький математик і філософ, – є історично першим прикладом прямого добутку. Множина точок площини, тобто множина пар виду,:.

Декартів добуток множин не є комутативним: .

Визначення 2.4.Якщо, тобто–декартів квадрат.

Визначення 2.5.Прямий добуток n множин є сукупність всіх векторівдовжинитаких, що,, ... ,, тобто

, (2.2)

Ототожнивши множини в декартовому добутку (2.3), одержимо декартову ступіньмножини.

Визначення 2.6. Декартів добуток n однакових множин є декартова ступінь:

. (2.3)

Декартова ступінь множини поряд з іншими n-мірними векторами містить вектори, що складаються з однакових координат, тобто-мірні вектори виду. Кількість таких векторів визначається потужністю множиний дорівнюєn.

Потужність декартова добутку визначається як добуток потужностей множин, що входять у нього.

Нехай – кінцеві множини, потужності яких відповідно дорівнюють. Тоді потужність декартова добутку множиндорівнює добутку потужностей цих множин:

. (2.4)

З формули (2.4) випливає, що потужність декартова ступеня визначається як ступінь потужності множини:

. (2.5)

2.3 Відповідності

Визначення 2.7.Відповідністю між множинамиіназивається підмножина декартового добутку двох множин:.

Запис означає, що елементвідповідає елементув значенні, і впорядкована параналежить множині:.

При цьому називаютьобластю визначення(множиною відправлення) відповідності:;–областю значень(множиною прибуття) відповідності:.

Визначення 2.8. Множина всіх елементів , що відповідають елементу , називається образом елемента у множині при відповідності .

Визначення 2.9.Множина всіх елементів, яким відповідає елемент, називаєтьсяпрообразомелементав множиніпри відповідності.

Приклад 2.6. Дано множиниі. Для відповідностіобласть визначення є проекція на першу вісь:; область значень – проекція на другу вісь:;– образ елементів 1, 2 у множиніпри відповідності; 1, 2 є прообразами елементапри відповідності.

Відповідності прийнято ілюструвати за допомогою діаграм. Для прикладу 2.6діаграма наведена на рис. 2.1.

Рисунок 2.1 – Діаграма відповідності із прикладу 2.6

Визначення 2.10.Відповідністьназиваєтьсявсюди визначеною, якщо її проекція на першу вісь співпадає з множиною відправлення:, тобто у відповідності задіяні всі елементи з області визначення. У протилежному випадку відповідність єчастковою.

Приклад 2.6 ілюструє часткову відповідність, тому що .

Приклад 2.7.Для відповідності(рис. 2.2), де,, проекція на першу вісь співпадає з множиною відправлення:.

S

Рисунок 2.2 – Діаграма відповідності S із прикладу 2.7

Визначення 2.11.Відповідністьназиваєтьсясур’єктивною, якщо її проекція на другу вісь співпадає з множиною прибуття:, тобто у відповідності задіяні всі елементи з області значень.

Приклад 2.8.Для відповідності(рис. 2.3), де,, проекція на другу вісь співпадає з множиною прибуття:.

Т

Рисунок 2.3 – Діаграма відповідності Т із прикладу 2.8

Визначення 2.12.Відповідністьназиваєтьсяін’єктивною (in), якщо різні елементи з його області визначеннямають різні образи в його області значень, тобто прообразом будь-якого елемента з області значень є єдиний елемент із області визначення (інакше – різні елементи з області визначення мають різні образи):

. (2.6)

Отже, при ін’єктивній відповідності кожний образ має єдиний прообраз. Це означає, що в діаграмі ін’єктивної відповідності нема збіжних стрілок.

Приклад 2.9. Відповідності , і із прикладів 2.6 – 2.8 не є ін’єктивними, оскільки образ має два прообрази – елементи 1, 2 у множині . До того ж у відповідності образ також має два прообрази – елементи 2 і 3.

Приклад 2.10.Відповідністьде,, є ін’єктивною, оскільки образи з множинимають єдині прообрази в множині(рис. 2.4).

Р

Рисунок 2.4 – Діаграма відповідності Р із прикладу 2.10

Визначення 2.13.Відповідністьназиваєтьсяфункціональною (однозначною), якщо образом будь-якого елемента з області визначення є єдиний елемент із області значень, тобто– функціонально, якщо

. (2.7)

Діаграма функціональної відповідності не має розбіжних стрілок.

Приклад 2.11.Відповідністьіз прикладу 2.6 є функціональною, томущо кожному прообразу відповідає єдиний образ: прообразу 1 відповідає образ , прообразу 2 відповідає також один образ – . Відповідність із прикладу 2.7.не є функціональною, оскільки існує прообраз – елемент 2, у якого одночасно два образи – елементий.

Визначення 2.14. Бієктивна(взаємо-однозначна) відповідність – це відповідність, що є всюди визначеною, сур’єктивною, ін’єктивною, функціональною, тобто має всі властивості одночасно.

Біекцію (бієктивну або взаємо-однозначну відповідність) можна встановити тільки між множинами однакових потужностей.

Приклад 2.12.Для відповідності(рис. 2.5), де,, характерні всі властивості, отже, вона є бієктивною.

Рисунок 2.5 – Діаграма відповідності із прикладу 2.12

Приклад 2.13. Розглядається відповідність , що геометрично зображена на рис. 2.6. Вона переводить відрізок дійсної осі у відрізок дійсної осі : . Відповідність не є функціональною, тому що образом числа 3, що лежить на осі абсцис, є відрізок осі ординат, а не єдиний елемент: . Дуга є прикладом функціональної відповідності.

Рисунок 2.6 – Ілюстрація відповідності до прикладу2.13