14.1 Булеві похідні першого порядку

Вводяться у розгляд поняття нульової і одиничної залишкових функцій.

Визначення 14.1. Нульова залишкова функція є функція , обчислена при підстановці замість змінної нульового значення: .

Визначення 14.2. Одинична залишкова функція є функція , обчислена при підстановці замість змінної одиничного значення: .

Визначення 14.3. Булева похідна першого порядку функції за змінною є сума за модулем дві нульової та одиничної залишкових функцій:

, (14.1)

де , − одиничні й нульова залишкові функції.

Приклад 14.1. Обчислити всі булеві похідні першого порядку функції від трьох змінних: .

Розв’язок. 1. Булева похідна першого порядку за змінною визначається на підставі формули (14.1) і властивостей суми за модулем два:

. (14.2)

2. Похідна за змінною :

. (14.3)

3. Похідна за змінною :

. (14.4)

14.2 Фізичний зміст булевої похідної першого порядку

Похідна першого порядку булевої функції за змінною визначає умови, за яких ця функція змінює значення при зміні змінної . Фізично це відповідає перемиканню вихідного каналу при перемиканні вхідного.

Приклад 14.2. Визначити фізичний зміст похідних першого порядку (14.2) – (14.4) для функції із прикладу 14.1.

Розв’язок. 1. Похідна першого порядку за змінною :

.

2. Похідна першого порядку за змінною :

3. Похідна першого порядку за змінною :

Рисунок 14.1 – Схемотехничне зображення функції й активізація сигналів

14.3 Змішана похідна -го порядку

Визначення 14.4. Змішана похідна k-го порядку булевої функції є вираз вигляду

. (14.5)

Змішана похідна k-го порядку обчислюється застосуванням k раз основного співвідношення для визначення похідної k-го порядку при фіксації змінних .

Приклад 14.3. Обчислити всі змішані булеві похідні 2-го порядку для функції .

Розв’язок. Булеві похідні першого порядку розглянутої функції визначені в прикладі 14.1. Застосування до кожної з них диференціювання відповідно до формули (14.5) дає:

, (14.6)

, (14.7)

. (14.8)

Можна показати, що порядок диференціювання при обчисленні змішаних булевих похідних не має значення:

. (14.9)

Приклад 14.4. Переконатися у справедливості формули (14.9) на прикладі обчислення змішаних булевих похідних другого порядку (14.6) – (14.8).

Розв’язок. Слід обчислити змішані булеві похідні при диференціюванні у зворотному порядку:

,

,

.

Приклад 14.5. Обчислити змішану булеву похідну 3-го порядку функції .

Розв’язок. Для обчислення змішаної похідної 3-го порядку слід застосувати диференціювання до результату обчислення однієї зі змішаних похідних другого порядку розглянутої функції у формі (14.6) – (14.8). Наприклад:

. (14.10)

14.4 Булеві похідні k-го порядку

Визначення 14.5. Похідна k-го порядку є сума за модулем два всіх перших похідних, всіх змішаних похідних 2-го, 3-го й т.д. k-го порядків:

(14.11)

Фізичний зміст булевої похідної k-го порядку: похідна k-го порядку від булевої функції за змінними визначає умови, за яких ця функція змінює значення при одночасній зміні значень змінних , що відповідає перемиканню вихідного каналу f при будь-якому одночасному перемиканні вхідних каналів .

Для похідних 2-го й 3-го порядків функції від трьох змінних формула (14.11) приймає вигляд:

, (14.12)

(14.13)

Приклад 14.5. Визначити похідну 2-го порядку за змінними , функції , де похідні першого порядку й змішані похідні 2-го порядку визначені раніше в прикладах 14.1, 14.3.

Розв’язок. Відповідно до формули обчислення булевої похідної 2-го порядку (14.12) слід скласти за модулем два вирази, що описують всі похідні 1-го порядку у формі (14.2), (14.3) і змішану похідну 2-го порядку у формі (14.6):

.

Приклад 14.6. Визначити похідну 3-го порядку функції , де похідні першого порядку й всі змішані вже визначені в прикладах 14.1, 14.3, 14.4.

Розв’язок. Відповідно до формули обчислення булевої похідної 3-го порядку (14.13) слід скласти за модулем два всі похідні 1-го порядку у формі (14.2) – (14.4), всі змішані похідні 2-го порядку у формі (14.6) – (14.8), а також змішану похідну 3-го порядку:

. (14.4)

Таким чином, булеві похідні дозволяють аналітично виразити умови активізації шляхів у схемі – зміна стану вхідної лінії, що призводить до зміни стану вихідної.