1 Основні поняття теорії множин

1.1 Відношення приналежності та включення

Множина – одне з первинних понять у математиці. Будь-яке визначення в дискретній математиці можна вивести за допомогою поняття множини. Під множиноюслід розуміти об'єднання в одне ціле об'єктів, що добре розрізнюються інтуїцією або думкою. Термін ”множина” має синоніми – ”сукупність”, “набір”. Об'єкти, які утворюють множину, називаються йогоелементами. Як правило, множину утворюють елементи однієї природи. Наприклад, числа (натуральні, цілі, дійсні), букви латинського алфавіту.

Відношення приналежності. Приналежність об'єкта множиніпозначається за допомогою символу:.

Відношення включення. Говорять, що множина є підмножиною множини, якщо кожний елементє елементом, тобто належить(виконується поелементна приналежність):

,

при цьому –підмножинамножини;–надмножинамножини(рис. 1.1, а).

Відношення строгого включення не припускає співпадіння множин й позначається символом :(див. рис. 1.1, а).

Множини рівні , якщо вони складаються з тих самих елементів. Якщой(), то(рис. 1.1, б).

а б

Рисунок 1.1 – Відношення включення

Таким чином, відношення приналежності встановлює зв'язок між множиною і його елементами, а відношення включення – між двома множинами. Нестроге включення допускає рівність двох множин.

Приклад 1.1. Дано множина(рис. 1.2). Які з наступних тверджень правильні?

Рисунок 1.2 – Структура множини А із прикладу 1.1

Розв’язок: – правильне, тому що в множині є елемент 2;

–правильне, тому що в множині є елементи 1, 2, тобто , ;

–правильне, тому що в множині є елемент 3, тобто ;

–правильне, тому що в множині є елемент {3};

–не правильне, оскільки в множині немає елемента 4;

–правильне, тому що в множині є елемент ;

–не правильне, оскільки в множині немає елемента 4, тобто .

1.2 Способи задання множин

Множину можна задати декількома способами, а саме:

1) перерахуванням елементів: ,;

2) використанням характеристичної властивості:

M={x | x, що мають властивість Q} або ;

;;

3) за допомогою процедури, що породжує (породжувальна процедура – операції над множинами) ;

4) графічно за допомогою діаграм Ейлера (рис. 1.3):

Рисунок 1.3 – Діаграма Ейлера для ілюстрації множини

Визначення 1.1.Булеанмножини– є множина всіх підмножин множини, при цьомуназиваєтьсяуніверсумом(універсальною множиноюабо простором) і часто позначається.

Визначення 1.2.Потужністьмножини (кардинальне число) – кількість елементів множини. Потужність множини позначаєтьсяабо.Потужність булеанавизначається формулою:

. (1.1)

Кінцева множина містить кінцеве число елементів.

Порожня множина не містить жодного елемента, його потужність дорівнює нулю:.

Приклад 1.2. Дано: множина. Знайти:.

Розв’язок.Потужність множинивизначається кількістю елементів:. Потужність булеана множини А обчислюється за формулою (1.1): . Булеан множини містить порожню множину – ;всі одноелементні підмножини множини–,,; всі двоелементні підмножини множини–,,; триелементну підмножину, що співпадає із самою множиною –:

.

Таким чином, булеан множини А складається з порожньої множини, трьох одноелементних підмножин множини А, трьох двоелементних підмножин множини А та самої множини А.

Визначення 1.3. Множина А називається власною підмножиною множини В, якщо А є підмножиною множини В, а В не є підмножиною множини A.

Порожня множина є підмножиною будь-якої множини. Універсум U або універсальну множину можна розглядати як надмножину всіх множин:.

Універсум – поняття відносне. Якщо мова йде про множину чисел в арифметиці, множина R дійсних чисел розглядається як універсум U. Якщо мова йде про вузівський захід, то U краще вибрати як множину студентів даного вузу, а не людей міста або країни.

У прикладі 1.2 універсумом є множина А як надмножина всіх множин булеана. Порожня множина і сама множина є невласними, інші множини – елементи булеана – власні.