9 Основні поняття булевої алгебри

9.1 Логічні операції й логічні функції

Визначення 9.1. Логічна (булева) змінна – така величина , що може приймати тільки два значення (нуль або одиниця / неправда або істина): .

Визначення 9.2. Логічна (булева або функція алгебри логіки – ФАЛ) є функція від булевих змінних, що приймає значення 0 або 1:

.

Змінні булевої функції утворюють набори з нулів і одиниць. Такі набори називаються двійковими й розглядаються як кінцеві впорядковані послідовності, на яких задана булева функція.

Булева функція від n змінних визначена на двійкових наборах.

Перехід від десяткової до двійкової системи числення здійснюється відомим способом шляхом розподілу числа з десяткової системи на два. Наприклад, числу 6 у десятковій системі відповідає (1,1,0) у двійковій: .

Кожному двійковому набору відповідає його десятковий еквівалент або порядковий номер (табл. 9.1 –9.3).

Таблиця 9.1 – Двійкові набори для

булевої функції від двох змінних

Таблиця 9.2 – Двійкові набори для булевої функції від трьох змінних

Таблиця 9.3 – Двійкові набори для булевої функції від чотирьох змінних

У булевій алгебрі мають місце основні логічні операції – інверсія, кон’юнкція, диз’юнкція, а також імплікація, еквівалентність, сума за модулем два (табл. 9.4).

Таблиця 9.4 – Логічні операції

Назва	Позначення	Читання
Диз’юнкція (логічне додавання)	(+)	x АБО y
Кон’юнкція (логічне множення)	(&, •)	x И y
Інверсія (заперечення)	– (¬)	НЕ x
Імплікація		x ТЯГНЕ y
Еквівалентність	~	x еквівалентно y
Сума за модулем 2 (виключне АБО чи XOR)		x сума за модулем 2 y

Як і в арифметичному множенні, символ кон’юнкції часто опускається: або .

Кожній логічній операції відповідає логічна функція з однойменною назвою. Оскільки логічні операції є бінарними, крім інверсії, яка є унарною, для їхнього завдання необхідні дві змінні, тобто кожна функція має бути визначена на 4-х двійкових наборах. Логічні функції задаються за допомогою таблиць істинності, які є правилами їхнього обчислення (табл. 9.5).

Таблиця 9.5 – Таблиці істинності для елементарних булевих функцій

З табл. 9.5 видно, що:

1. Кон’юнкція приймає нульове значення, якщо серед співмножників є хоча б один нуль, і єдине одиничне значення – на наборі з одиниць. Цей підхід можна поширити на добуток змінних:

(9.1)

2. Диз’юнкція приймає єдине нульове значення, якщо всі доданки дорівнюють нулю, і одиничне значення, якщо серед доданків є хоча б одна одиниця, тобто для функції від змінних є правильним:

(9.2)

3. Два однакових компоненти еквіваленти, а два різних – ні.

4. Сума за модулем два обертається на нуль, якщо доданки – два однакових компоненти, і дорівнює одиниці – при додаванні двох різних компонентів.

5. Функція імплікація приймає єдине нульове значення, коли 1 тягне (спричиняє) 0.

6. Сума за модулем два та еквівалентність – взаємно зворотні один одному, тобто , .

Функції можуть бути представлені через операції за допомогою формул переходу:

, (9.3)

, (9.4)

. (9.5)

Пріоритет виконання операцій визначається дужками в логічному виразі, яким представлена функція. Якщо не зазначено інакше, операції виконуються в такому порядку: 1) інверсія, 2) кон’юнкція, 3) диз’юнкція.

За допомогою таблиць істинності можна знаходити значення булевих функцій. При цьому треба логічний вираз, яким задана функція, розбити на елементарні операції (унарну та бінарні), і потім обчислити їх послідовно відповідно до порядку їхнього виконання.

Приклад 9.1. Скласти таблицю істинності для функції

.

Розв’язок. Потрібно скласти таблицю істинності для функції від трьох змінних. Вона визначена на стандартних двійкових наборах (див. табл. 9.2). Порядок обчислення функції встановлений дужками й буде таким: (табл. 9.6).

Таблиця 9.6 – Обчислення функції