
- •Міністерство освіти і науки,
- •Упорядники: в.І. Хаханов,
- •Рецензент: є.І. Литвинова, д-р техн. Наук, проф. Каф. Апот хнуре
- •1 Основні поняття теорії множин
- •1.1 Відношення приналежності та включення
- •1.2 Способи задання множин
- •1.3 Алгебра множин Кантора
- •1.4 Закони й тотожності алгебри множин
- •1.5 Контрольні запитання
- •2 Відповідності. Функції. Відображення
- •2.1 Поняття впорядкованої пари й вектора
- •2.2 Декартів (прямий) добуток множин
- •2.4 Функції. Відображення
- •2.5 Контрольні запитання
- •3 Відношення. Алгебра відношень
- •3.1 Поняття відношення
- •3.2 Операції над відношеннями
- •3.3 Алгебра відношень
- •3.4 Контрольні запитання
- •4 Бінарні відношення
- •4.1 Способи завдання бінарних відношень
- •4.2 Властивості бінарних відношень
- •4.3 Бінарне відношення еквівалентності
- •4.4 Контрольні запитання
- •5 Бінарне відношення порядку
- •5.1 Упорядковані множини. Бінарне відношення порядку
- •5.2 Типи порядку (лінійний, частковий, передпорядок)
- •5.3 Контрольні запитання
- •6 Структури. Алгебраїчні системи. Ізоморфізм
- •6.1 Структура
- •6.2 Дедекиндові (модулярні) структури
- •6.3 Дистрибутивні структури
- •6.4 Ізоморфізм множин
- •6.5 Контрольні запитання
- •7 Висновки до розділу «Теорія множин»
- •8 Позначення до розділу «Теорія множин»
- •9 Основні поняття булевої алгебри
- •9.1 Логічні операції й логічні функції
- •9.2 Закони й тотожності булевої алгебри
- •9.3 Доведення законів булевої алгебри
- •9.4 Контрольні запитання
- •10 Диз’юнктивні та кон’юнктивні нормальні форми (днф і кнф). Досконалі днф і кнф (дднф і дкнф)
- •10.1 Днф і кнф
- •10.2 Дднф і дкнф
- •10.3 Складність зображення булевих функцій
- •10.4 Теорема Шенона про розкладання булевих функцій
- •10.5 Контрольні запитання
- •11 Елементи логічних схем. Булеві функції від двох змінних
- •11.1 Фізичний зміст логічних функцій і, або, ні та їх схемотехнічне зображення
- •11.2 Таблиця аналітичного й схемотехнічного зображення булевих функцій від двох змінних
- •11.3 Властивості й аналітичні подання елементарних булевих функцій від двох змінних
- •11.4 Приклади розв’язання практичних завдань
- •11.5 Контрольні запитання й завдання
- •12 Способи зображення булевих функцій
- •12.1 Табличний спосіб зображення булевих функцій
- •12.2 Числовий спосіб зображення булевих функцій
- •12.3 Аналітична форма запису булевих функцій
- •12.4 Геометрична інтерпретація булевих функцій
- •12.5 Кубічна форма зображення булевих функцій
- •12.6 Схемотехнічне зображення
- •12.7 Контрольні запитання й завдання
- •13 Системи функцій алгебри логіки. Функціональна повнота
- •13.1 Класи булевих функцій
- •13.2 Повнота функцій алгебри логіки
- •13.3 Контрольні запитання
- •14 Булеві похідні
- •14.1 Булеві похідні першого порядку
- •14.2 Фізичний зміст булевої похідної першого порядку
- •14.3 Змішана похідна -го порядку
- •14.4 Булеві похідні k-го порядку
- •14.5 Контрольні запитання
- •15 Мінімізація булевих функцій. Методи квайна і квайна-мак-класки
- •Булеві функції застосувуються при реалізації логічних схем. Різні вирази однієї й тієї ж функції представляють різні схеми.
- •15.1 Основні положення методу квайна
- •15.2 Мінімізація булевих функцій за методом Квайна-Мак-Класки
- •15.3 Контрольні запитання
- •16 Мінімізація булевих функцій: метод невизначених коефіцієнтів
- •16.1 Основні припущення
- •16.2 Алгоритм знаходження невизначених коефіцієнтів
- •16.3 Контрольні запитання
- •17 Мінімізація булевих функцій: метод карт карно
- •17.1 Основні положення
- •17.2 Спрощений стандарт карт Карно
- •17.3 Мінімізація за картами Карно
- •17.4 Контрольні запитання
- •18 Висновки до розділу «булева алгебра»
- •19 Позначення до розділу «булева алгебра»
- •Перелік посилань
- •Упорядники хаханов Володимир Іванович
7 Висновки до розділу «Теорія множин»
За допомогою поняття ізоморфізму множин, а потім і алгебр, можна показати, що існує взаємо-однозначна відповідність, при якому алгебра множин Кантора ізоморфна алгебрі Буля. Це означає, що в булевій алгебрі існують аналогічні операції й об'єкти, властивості яких зберігаються при ізоморфізмі. Зокрема, ізоморфізм зберігає асоціативність, комутативність, дистрибутивність.
Таким чином, теорія множин дозволила чітко сформулювати поняття ізоморфізму систем об'єктів, заданих разом з об’єднувальними їхніми відношеннями, і призвела до розуміння тієї обставини, що кожна математична теорія в її чистій абстрактній формі вивчає ту чи іншу систему об'єктів “з точністю до ізоморфізму”, тобто може бути без змін перенесена на будь-яку систему об'єктів, ізоморфну тій, для вивчення якої вона була спочатку створена.
8 Позначення до розділу «Теорія множин»
Символ |
Розшифровка |
|
Відношення
приналежності. Приналежність об'єкта
|
|
Не належить:
|
|
Нестроге включення
|
|
Строге включення
|
|
Булеан (множина всіх підмножин) множини М |
U |
Універсальна множина (універсум) |
|
Порожня множина |
|
Потужність множини М |
|
Алгебра, де
|
|
Алгебра множин
Кантора, де носій
|
– (або
|
Операція
теоретико-множинного доповнення
|
|
Операція
теоретико-множинного перетинання |
|
Операція
теоретико-множинного об'єднання
|
|
Операція
теоретико-множинної різниці
|
|
Операція симетричної
різниці множин
|
|
За визначенням (від англ. definition –визначення) |
|
Сукупність елементів
|
|
Наслідок (символ наслідку) |
|
Рівносильно (тоді й тільки тоді) |
|
Квантор спільності (для кожного, для всіх) |
|
Квантор існування (існує) |
|
Не існує |
|
Існує і єдиний |
|
|
|
Упорядкована пара або вектор розмірності два |
|
Проекція
вектора
|
|
Проекція множини
векторів на
|
|
Операція декартова (прямого) добутку множин; операція розширеного декартова добутку відношень |
|
Декартова ступінь
множини
|
|
Ін’єктивність (властивість ін’єктивності) |
|
Сур’єктивність (властивість сур’єктивності) |
|
Бієкція (властивість бієктивної або взаємо-однозначної відповідності) |
|
Відповідність
|
|
Зворотна до
|
|
Композиція функцій
|
|
Відношення ступеня
n(n-арне
абоn-місцеве відношення),
задане на множині |
|
Бінарне відношення
на множині
|
|
Тернарне відношення
на множині
|
|
Реляційна
алгебра (алгебра відношень), де носій
|
|
Проекція бінарного
відношення
|
|
Проекція n-арного
відношення |
|
Елементи
|
|
Граф
бінарного відношення, де
|
|
Окіл одиничного
радіуса елемента
|
|
Фактор-множина
множини
|
|
Бінарне відношення еквівалентності |
|
Елемент
|
|
Клас
еквівалентності
елемента |
|
|
|
Відношення нестрогого порядку |
|
Відношення строгого порядку |
|
Множина
|
|
Порівнянність
елементів в упорядкованій множині
( |
|
Супремум |
|
Інфімум |
|
Зворотне відношення
до бінарного відношення
|
|
Висота елемента
|
|
Довжина впорядкованої
множини
|