Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ДПА-11-2014-2

.pdf
Скачиваний:
79
Добавлен:
18.03.2015
Размер:
3.76 Mб
Скачать

Вариант 35

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1.

Найдите значение выражения ( 74

3 + 7+4 3)2 .

2.2.

Укажите область значений функции

f (x) = 3sinx .

2.3. Решите неравенство:

log1(x +4) > log1(x2 +2x 2) .

66

2.4.Решите уравнение cos2x + sinx = 0.

1

 

 

 

1

 

2.5. Вычислите интеграл

2

 

 

dx .

x

2

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2.6. Арифметическая прогрессия ( an) задана формулой общего члена an = 73n . Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.

2.7. Периметр треугольника ABC, описанного около окружности, равен 36 см. Точка касания окружности со стороной BC делит ее в отношении 2:5, считая от точки B, а точка касания со стороной AC удалена от точки A на 4 см. Найдите сторону AB.

2.8.Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см. Чему равна площадь треугольника

ADC1?

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Составьте уравнение

 

касательной к графику функции

 

f (x) = cos2 x

в точке с абсциссой x

0

=

π

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3.2. Докажите тождество

cos(2π+ α4)sin(2π+ α4)ctg α8

= tg

α

 

cos(72π α4)+cos(α4 3π)ctg α8

8

3.3.Через сторону правильного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 30°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.

71

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство:

6+ x x2

6+ x x2

 

2x +5

x + 4

 

 

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение

( x a)(32x 4 3x +3)= 0

имеет два различных корня?

4.3.м Постройте график уравнения:

sin2 x +sin2 y = 2 .

4.4.м Докажите, что площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле S = p (p c) , где p — полупериметр треугольника, c

длина гипотенузы.

72

Вариант 36

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение

sinα+sin3α .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosα+cos3α

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Решите неравенство 4x+1 +4x 320 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

2

2

1

 

(4+

2)

 

 

 

 

3

2

 

 

2.3. Чему равно значение выражения

 

 

 

 

 

 

 

 

?

(3 3 3 2)(3 9 + 3 6 + 3 4)

2.4.Решите неравенство x2 28x +16 0 .

x4

2.5. Вычислите интеграл 2 (x2 2x) dx .

3

2.6.Найдите функцию, обратную к функции y = x +x 2 .

2.7.В треугольник ABC вписан ромб AKPE так, что угол A у них общий,

авершина P принадлежит стороне BC. Найдите сторону ромба, если

AB=6 см, АC=3 см.

2.8.Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого равно a.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение:

log3(4x 3)+ log3(4x 1)= 1.

3.2.Число 60 представьте в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

3.3.В треугольнике ABC точка O — центр вписанной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если AO=6 см,

BO=10 см, С=60°.

73

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Для каждого значения параметра a решите неравенство:

(2x a) x 3 0.

4.2.м Докажите, что при всех действительных значениях x выполняется неравенство:

ex 1x .

4.3.м Найдите корни уравнения:

cos3x +cos52x = 2.

4.4.м Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности катетов. Найдите острые углы треугольника.

74

Вариант 37

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Сколько целых чисел содержит множество решений неравенства x2(x +1)(x 4) < 0?

2.2.Решите уравнение log27 x log7 x2 3= 0 .

2.3.К сплаву массой 150 кг, содержавшему 20 % меди, добавили 10 кг меди. Какое процентное содержание меди в новом сплаве?

2.4.Найдите корни уравнения:

sinx +sin2x +sin3x = 0 .

2.5. Чему равно наибольшее значение функции f (x) = 2x 3 3x 2 12x +1 на промежутке [0; 3]?

2.6. Найдите первообразную функции f (x) = 3x2 6x + 4 , график которой проходит через точку A (1;4) .

2.7.Чему равна площадь параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, а одна из них перпендикулярна его стороне?

2.8.Радиус основания конуса равен R, а его осевое сечение — прямоугольный треугольник. Найдите объем конуса.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство:

32x 2 x +2 52x 2 x 1 > 52x 2 x +1 + 32x2 x 1.

3.2. Решите уравнение:

3x2 9x 26 =12+3x x2 .

3.3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой c и острым углом α. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол γ. Найдите объем пирамиды.

75

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение

 

 

cos2 2x a cos2x = 0

имеет на промежутке

 

π;3π

 

два корня?

 

 

4 4

 

 

4.2.м Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f (x) = x3 + x2 6x +1 в точке с абсциссой x0 = 1.

4.3.м Решите уравнение:

lg2(x +1) = lg(x +1)lg(x 1) + 2lg2(x 1) .

4.4.м В выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются.

76

Вариант 38

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область определения функции y = 6 14x .

 

 

 

 

 

 

2

1

49

1

 

 

 

 

2.2. Вычислите значение выражения 83 +164

2 .

 

 

 

 

2.3. Решите неравенство:

 

x27x+6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0,6)

 

 

x3

 

1.

 

 

 

 

 

2.4. Решите уравнение:

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

=1.

 

 

 

 

 

 

 

5lgx

 

1+lgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5. Найдите первообразную функции

f (x) = 5x4 + 3x2 4 , график которой

проходит через точку B (–1;12).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6. Найдите точку максимума функции

f (x) = x 4 4x 2 .

 

 

2.7. Отрезки

AB и CD, изображенные

на

A

 

 

B

 

 

 

 

 

 

рисунке,

параллельны,

ABC = 90° ,

 

 

 

O

AB = 24 см, BO =10 см, CO =5см. Найдите

 

 

 

 

 

 

 

 

отрезок AD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.8. Основание прямой призмы — прямоуголь-

ный треугольник с катетом a и противолежащим углом α. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

 

 

cosα

 

sinα

cos6α−cos10α

 

3.1.

Упростите выражение (

 

 

)

sin3α

 

cos4α

sin4α

3.2.Постройте график функции f (x) = 6 x6 2x .

3.3.Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а высота — 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

77

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение:

4x 2x 3 = 4 2x 7 .

4.2.м Найдите все значения параметра a, при которых функция f (x) = (a 12)x3 + 3(a 12)x2 + 6x + 7

возрастает на R.

4.3.м Докажите тождество:

cos(arctgx) =

1

 

1+ x2

 

 

4.4.м Отрезок AB является диаметром окружности, а точка C лежит вне этой окружности. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите угол ACB, если площади треугольников DCM и ACB относятся как 1:4.

78

 

Вариант 39

 

 

 

 

Часть вторая

 

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1.

Вычислите значение выражения 810,5 27

7

7

12 98 .

2.2.Решите неравенство 2 3x +3x2 57 .

2.3.Найдите область определения функции y = lg 33xx +11.

2.4.

Решите уравнение x + 4 x 6 = 0.

2.5.

Найдите корни уравнения cos2x = cosx .

2.6. Найдите первообразную

 

функции f (x) = 6x2 + e4x , график которой

проходит через точку

 

1

;

e2

 

A

2

4

.

 

 

 

 

2.7. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, — 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.

2.8.Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь сечения, которое проходит параллельно плоскости основания и делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение:

lg2 100x 5lg x = 6 .

3.2. Вычислите значение выражения:

sin20°cos70°+sin2 110°cos2 250°+sin2 290°cos2 340° .

3.3.В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, пересекающая нижнее основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом α. Диагональ образовавшегося сечения наклонена

к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна S.

79

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях

параметра

a

функция f (x) = x3 ax2 + 3ax +1

возрастает на всей числовой прямой?

 

4.2.м Решите уравнение:

x2 2xsin πx

 

 

+1= 0 .

 

 

 

 

 

2

 

4.3.м Решите систему уравнений:

 

 

 

 

9

x

4

5y

+27 = 0,

 

 

3

 

2y 3x = 44x + y.

 

 

4.4.м В треугольнике ABC известно, что CAB=40°, CBA=50°. На стороне AB построен квадрат, точка M — его центр, точки C и M лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что ACM = MCB.

80

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.