ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 45
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби |
7 |
. |
3 36 − 3 6 +1 |
2.2. Решите неравенство:
9x 273−x > 3x .
2.3. Найдите корни уравнения:
cos2x + 3sinx = 2 .
2.4. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции f (x) = x2 −4x +7 .
2.5.Решите неравенство x22 −2x +1 ≥ 0 .
x+2x −8
2.6.В сплаве меди и цинка масса меди составляет 13 массы цинка. Какое процентное содержание меди в сплаве?
2.7.Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 9 см и 16 см. Найдите расстояние от данной точки до прямой, если одна из наклонных на 5 см больше другой.
2.8.Диагональ прямоугольника равна d и образует с его большей стороной угол α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, образованного вращением данного прямоугольника вокруг его меньшей стороны.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Вычислите значение выражения log4 5 log5 6 log6 7 log7 32 .
3.2. Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 7x и прямой x + y = 8.
3.3.Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Боковая грань ASB перпендикулярна плоскости основания, грани ASD и BSC
наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите угол наклона грани CSD к плоскости основания.
91
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите неравенство:
(x − 3)
x2 + x − 2 ≥ 0.
4.3.м Найдите корни уравнения:
− cos2x = cosx + sinx .
4.3.м Решите уравнение:
3x −1 + 3x − 9 = 8 .
4.4.м На диаметре AB окружности с центром в точке O отметили точки M и N так, что MO=ON. Пусть X — произвольная точка данной окружности. Докажите, что сумма XM2+XN2 не зависит от выбора точки X.
92
Вариант 46
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Упростите выражение:
|
|
1 |
− |
1 |
|
|
: |
|
2a |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
−6a +9 |
9−a |
2 |
a |
2 |
−9 |
|||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.2.Решите уравнение 32x+1 +8 3x −3= 0.
2.3.Решите неравенство:
log1 (2x +5) > −2.
3
2.4. Вычислите интеграл ∫3 |
(2x +1)dx . |
1 |
|
2.5. Решите уравнение: |
1+cos2x = 2cosx . |
|
2.6.Найдите первый член арифметической прогрессии (an), если a3 +a7 = 30
и a6 +a16 = 60.
2.7.Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 9 см, бóльшая диагональ — 17 см, а высота — 8 см. Чему равен периметр трапеции?
2.8.В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом α при вершине. Диагональ грани, содержащей боковую сторону треугольника, равна d и образует с плоскостью основания угол β. Найдите объем призмы.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение x +2 − 2x −3 =1.
3.2. Составьте уравнение касательной к графику функции f (x) = x2 −5x , которая параллельна прямой y = −x .
3.3.Отрезок BM — медиана треугольника ABC, BM=m, ABM=α, MBC=β. Найдите сторону AB.
93
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите неравенство:
logx (2x + 3) ≥ 2.
4.2.м Решите уравнение:
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
5+ |
24 |
|
+ |
|
5− |
24 |
|
= 10. |
|
|
|
|
4.3.м Определите, при каких значениях параметра a уравнения sin x + 12 = 0
и (sin x + 12)(sin x − a2)= 0 равносильны.
4.4.м Точка M — середина стороны AC треугольника ABC. На отрезке MC отметили точку P. Через точку M проведен отрезок MN, параллельный прямой BP (точка N принадлежит стороне AB). Докажите, что отрезок NP делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры.
94
Вариант 47
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
−3 −1 1
2.1.Вычислите значение выражения 0,25 2 +3 81 4 −0,0273 .
2.2.Упростите выражение (1+cos(π+2α))tg(32π −α).
2.3. Решите уравнение 2− x = x .
2.4.Найдите множество решений неравенства x22 + x −20 ≤ 0.
x−6x +9
2.5. Чему |
равен угловой коэффициент |
касательной к |
графику |
функции |
||
f (x) = |
2x +1 в точке с абсциссой x0 = 7,5? |
|
|
|
||
|
x2 +25y2 |
+10xy =100, |
|
|
|
|
2.6. Решите систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
x − y = 4. |
|
|
|
|
|
2.7. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, |
AD = a, C = 90°, |
|||||
BAC = α. Найдите отрезок BD. |
|
|
|
|
|
|
2.8. Отрезок CE — медиана грани BMC пирамиды MABC, точка K — сере- |
||||||
|
JJJG |
через векторы |
JJG |
JJJG |
JJJG |
|
дина отрезка CE. Выразите вектор AK |
|
AB , |
AC |
и AM . |
||
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение:
xlg x−2 =1000 .
3.2. Постройте график функции f (x) = 2cosx −2 .
3.3.Через две образующие конуса, угол между которыми равен α, проведена
плоскость, которая образует с плоскостью основания конуса угол β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна H.
95
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Вычислите интеграл ∫5 | x −2| dx .
0
4.2.м На гиперболе y = 1x , x <0, задана точка M(x0;y0) такая, что y0 = 14 x0 .
Найдите площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе в точке М и осями координат.
4.3.м Решите уравнение:
sin π4x = x2 −4x +5.
4.4.м В прямоугольную трапецию ABCD ( BC||AD, AB AD) вписана окружность с центром O. Найдите площадь трапеции, если OC=6 см,
OD=8 см.
96
Вариант 48
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Представьте в виде степени с рациональным показателем выражение
1 |
a 3 a . |
a4 |
2.2. Чему равно значение выражения 2sin2 3α+5sin(32π −α)+ 2cos2 3α , если cosα = 0,2?
2.3. Найдите значение выражения log7125+3log7 2 . log71,4−log714
2.4. Вычислите значение |
производной функции f (x) = e5x + e−2x в точке |
|||||
x0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
2.5. Вычислите интеграл |
∫π(2cos2x + 13sin |
x |
)dx . |
|
|
|
3 |
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
2.6. Найдите область определения функции f (x) = log2(x2 −4)+ |
1 |
. |
||||
x −5 |
||||||
|
|
|
|
|
||
2.7.Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 13 см, а разность катетов — 7 см.
2.8.Через две образующие конуса, угол между которыми равен ϕ, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если высота конуса равна h, а угол между высотой и образующей конуса равен α.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите неравенство:
0,25x −12 0,5x + 32 ≥ 0 .
3.2. Решите уравнение:
cos9x − cos5x = 
3sin2x .
3.3.Биссектриса угла A прямоугольника ABCD делит его сторону BC на отрезки BM и MC длиной 10 см и 14 см соответственно. На отрезки какой длины эта биссектриса делит диагональ прямоугольника?
97
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение 32−x2 = x2 +9 .
4.2.м Найдите множество значений функции f (x) = cosx + 
− cos2 3x .
4.3.м Решите неравенство:
1+2logx+2 5≥ log5(x +2) .
4.4.м Прямые, содержащие биссектрисы углов A, B, C треугольника ABC, пересекают описанную около этого треугольника окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что отрезки CC1 и A1B1 перпендикулярны.
98
Вариант 49
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Чему равно значение выражения arccos(sin 23π)?
2.2. Упростите выражение ( |
15 |
−a − |
7) |
|
|
7−a |
|
. |
|
||
|
a |
2 |
−16a +64 |
||||||||
|
a −7 |
|
|
|
|
||||||
2.3. Найдите производную функции f (x) = |
x2 |
|
. |
|
|
|
|||||
x −1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.4. Найдите область определения функции |
f (x) = |
5− x |
. |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x −49 |
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5. Вычислите интеграл ∫(4x 3 −4x +1) dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Решите уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
log6(x − 2) + log6(x −1) =1. |
|
|
|||||||||
2.7. В равнобедренном треугольнике |
ABC с основанием AС биссектриса |
||||||||||
угла A пересекает сторону BC в точке M. Найдите углы треугольника ABC, если AMB = 117°.
2.8. Площадь полной поверхности конуса равна 200π см2, а его образующая — 17 см. Найдите объем конуса.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение x2 −3x +5 + x2 = 3x +7 .
3.2. Докажите тождество:
cos2 (π4 −2α)−cos2 (π4 +2α)= sin4α .
3.3.Основание пирамиды MABCD — прямоугольник ABCD. Боковая грань CMD перпендикулярна плоскости основания, грани AMD и BMC наклонены к плоскости основания под углом α, а грань AMB — под углом β. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна H.
99
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Найдите решения системы уравнений в зависимости от значения параметра a:
cosx cosy = a2 ,
sinxsiny = 1.
4.2.м Решите неравенство:
log3(10−3x )≥ 5log5(2−x) .
4.3.м При каких значениях b и c прямая y = 4x +1 касается параболы y = x2 +bx +c в точке A (1; 5)?
4.4.м Трапеция ABCD (BC||AD) вписана в окружность. Точка O — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если AC=d и COD=30°.
100