Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ДПА-11-2014-2

.pdf
Скачиваний:
94
Добавлен:
18.03.2015
Размер:
3.76 Mб
Скачать

Вариант 5

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1.

Представьте в виде дроби выражение

a

 

4 a

.

a 1

4

a +1

 

 

 

 

2.2. Решите уравнение:

9x 6 3x 27 = 0.

2.3. Решите неравенство:

log3(4x 5) < log3 7+2.

2.4.Решите уравнение 2cos2 x = 3sin x +2 .

2.5.Найдите промежутки убывания функции f (x) = x3 x2 5x 3.

2.6.Чему равна сумма целых решений неравенства 2xx+31 1?

2.7.Стороны треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его меньшей стороне.

2.8.Параллельно оси цилиндра проведено сечение, являющееся квадратом со стороной 6 см и отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 и прямой y = x + 2.

3.2. Решите уравнение:

(x2 4x + 3) 5x 2 2x2 = 0 .

3.3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым углом β и гипотенузой c. Боковое ребро, проходящее через вершину данного острого угла, перпендикулярно плоскости основания, а боковая грань, содержащая катет, противолежащий данному куту, наклонена к плоскости основания под углом γ. Найдите объем пирамиды.

11

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a неравенство sin2 x (2a +1)sin x +a2 +a > 0

выполняется при всех действительных значениях x?

4.2.м Решите уравнение:

|lg x +2| + |lg x 1| = 3.

4.3.м Решите уравнение:

8x +1 + 3x 5 = 7x + 4 + 2x 2 .

4.4.м На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и N так, что СМ:MD =1:1 и AN:ND =1:2. Отрезки BM и CN пересекаются в точке K. Найдите отношение BK : KM.

12

Вариант 6

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

 

 

 

 

 

 

3a

1

 

 

 

 

 

 

2.1. Чему равно значение выражения

 

 

 

 

3

 

 

 

при a = 5 ?

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

2a

 

 

 

 

 

 

a3

 

3

 

 

 

 

 

2.2. Решите неравенство 4x 2x2+1 >16.

 

 

 

 

 

 

1log5

 

 

2.3. Вычислите значение выражения 5

4log5

 

3+

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2.4. Решите уравнение

2x +

x +3

 

 

= 3

1

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

x +3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2.5. Найдите первообразную функции

f (x) =

 

12

 

, график которой про-

 

3x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ходит через точку

A(9;30) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6.Моторная лодка проплыла 7 км против течения реки и 8 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

2.7.Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12 см, а меньшая

боковая сторона — 4 3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 120°.

2.8. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной a и острым углом α. Меньшая диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = xx22 +11.

3.2. Докажите тождество:

(sin(π−3α)cos(32π ))(sin(π2 +3α)+cos(π+α))= −sin4α. 1+cos(π−2α)

3.3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 см, а основание — 3 см. Найдите медиану треугольника, проведенную к его боковой стороне.

13

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Определите количество решений уравнения

1x 2 = a

в зависимости от значения параметра a.

4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: arctgx +arctg 1x = π2 .

4.3.м Решите уравнение:

log2x x2 log4x x = 0 .

4.4.м Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры PC1 и PB1 на стороны AC и AB соответственно. Докажите, что C1AP= C1B1P.

14

Вариант 7

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1. Найдите значение выражения 25log

3 5 .

 

 

 

 

 

 

1

+3

 

1

9

 

 

 

 

 

 

2.2. Упростите выражение

2x 6

:

4x 3

.

 

 

 

 

 

 

1

 

6x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

6x 6

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x +61x = 7 .

 

 

 

 

 

2.4. Укажите область определения функции f (x) =

4

 

+

8

.

3x 15

x2 36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5. Найдите первообразную функции

 

f (x) = 4x3 4x +6,

график которой

проходит через точку A (1;5) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.6.Какие три положительных числа надо вставить между числами 3 и 48, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

2.7.В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите периметр трапеции.

2.8.Объем конуса с радиусом основания 6 см равен 96π см3. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите

уравнение

касательной

к

графику

функции

f (x) = 0,4x2 + 3x 9, которая параллельна прямой y = 7x 8.

 

3.2. Упростите выражение

(ctg2 α − tg2 α)cos2α tg2α , если π4 < α < π2 .

3.3.Основанием пирамиды является правильный треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 60°. Найдите объем пирамиды, если ее

высота равна 12 см.

15

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м В зависимости от значения параметра a найдите критические точки функции f (x) = (2x 1)4 x a .

4.2.м Решите неравенство:

x 2 + 2x +5 3.

4.3.м Постройте график функции:

y = arcsin x + arcsin 1x .

4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены биссектрисы AA1 и BB1. Найдите углы треугольника ABC, если AA1=2BB1.

16

Вариант 8

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

 

 

1

1

1

 

1

1

1

1

 

2.1.

Упростите выражение

m 3

m 6 n 6

:

m 3 2m

6 n

6 + n3

.

 

1

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 3

 

 

m 6 n 6

 

 

 

2.2. Решите уравнение:

7x +2 2 7x+1 +5 7x = 280.

2.3.Упростите выражение ctgα +1+sincosαα .

2.4.Первый член арифметической прогрессии равен –3, а разность равна 4. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 150?

2.5.Решите уравнение:

x x +1 = 5.

2.6. Найдите наименьшее значение функции f (x) =

x4

2x2

на промежут-

 

4

 

 

ке [0; 4].

2.7.Высота BD треугольника ABC делит его сторону AC на отрезки AD и CD. Найдите отрезок CD, если AB = 2 3 см, BC=5 см, A=60°.

2.8.Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной

призмы, диагональ которой равна 12 3 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1.Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 5x и прямыми y = 4x +1 и x = 2 .

3.2.Решите неравенство lg2 100x 7lgx 8 .

3.3.В прямоугольном треугольнике MNK ( N=90°) известно, что MN=6 см, MK=10 см. Найдите радиус окружности, проходящей через точки N, M и точку пересечения биссектрисы угла M с катетом NK.

17

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней

уравнения x3 + ax2 +bx 17 = 0 равен 2 1?

 

4.2.м Сколько корней уравнения

cos3x +cosx = 0

принадлежат промежут-

 

 

 

 

1sin x

 

ку

π;

π

?

 

 

 

2

2

 

 

 

4.3.м Найдите все пары действительных чисел (x; y), удовлетворяющие неравенству:

x2 +8x + 20 y2 10y +34 6 .

4.4.м Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.

18

Вариант 9

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение:

 

25x +25= 26 5x .

 

 

 

2.2. Найдите значение производной

функции

f (x) = e4x +ex2 в точке

x0 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

1

4

1

 

2.3. Чему равно значение выражения

2

93

 

?

 

1

1

 

 

27

 

 

 

 

9

44

 

 

2.4. Найдите область определения функции

f (x) =

10 .

 

 

 

 

 

 

 

24 x

2.5. Вычислите интеграл 3 (4x x)dx .

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2.6. Упростите выражение

3sinα+2cos(60°+α)

.

 

 

2sin(60°+α)

3cosα

 

2.7.Из точки A, лежащей вне прямой m, проведены к этой прямой наклонные AC и AD, которые образуют с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите проекцию наклонной AD на прямую m, если AC = 4 2 см.

2.8.На расстоянии 12 см от центра шара проведена плоскость. Площадь образовавшегося сечения равна 64π см2. Найдите площадь поверхности шара.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1.Решите уравнение xlog2 x =16 .

3.2.Постройте график функции f (x) = |sinsin xx |

3.3.Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом α. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.

19

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение:

 

 

3 x 2 + x + 6 = 6.

 

 

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение

x3 7x2 + ax 8 = 0 имеет

три действительных корня, которые образуют геометрическую про-

грессию?

 

 

 

 

4.3.м Докажите, что cos

π

+cos3π +cos5π +...+cos17π =

1

 

19

19

19

19

2

4.4.м На стороне BC треугольника

ABC отметили

точку D так, что

BD:DC=2:3. В каком отношении медиана BM делит отрезок AD?

20