ДПА-11-2014-2
.pdfВариант 5
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. |
Представьте в виде дроби выражение |
a |
− |
|
4 a |
. |
|
a −1 |
4 |
a +1 |
|||||
|
|
|
|
2.2. Решите уравнение:
9x −6 3x −27 = 0.
2.3. Решите неравенство:
log3(4x −5) < log3 7+2.
2.4.Решите уравнение 2cos2 x = 3sin x +2 .
2.5.Найдите промежутки убывания функции f (x) = x3 − x2 −5x − 3.
2.6.Чему равна сумма целых решений неравенства 2xx−+31 ≤1?
2.7.Стороны треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его меньшей стороне.
2.8.Параллельно оси цилиндра проведено сечение, являющееся квадратом со стороной 6 см и отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 и прямой y = x + 2.
3.2. Решите уравнение:
(x2 − 4x + 3) 5x − 2 − 2x2 = 0 .
3.3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым углом β и гипотенузой c. Боковое ребро, проходящее через вершину данного острого угла, перпендикулярно плоскости основания, а боковая грань, содержащая катет, противолежащий данному куту, наклонена к плоскости основания под углом γ. Найдите объем пирамиды.
11
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a неравенство sin2 x −(2a +1)sin x +a2 +a > 0
выполняется при всех действительных значениях x?
4.2.м Решите уравнение:
|lg x +2| + |lg x −1| = 3.
4.3.м Решите уравнение:
8x +1 + 3x −5 = 7x + 4 + 2x − 2 .
4.4.м На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и N так, что СМ:MD =1:1 и AN:ND =1:2. Отрезки BM и CN пересекаются в точке K. Найдите отношение BK : KM.
12
Вариант 6
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
|
|
|
|
|
|
3a |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2.1. Чему равно значение выражения |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
при a = 5 ? |
||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2a |
|
|
|
||||
|
|
|
a3 − |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
2.2. Решите неравенство 4x 2x2+1 >16. |
|
|
|
|
|
|
1log5 |
|
|
||||||
2.3. Вычислите значение выражения 5 |
4log5 |
|
3+ |
4 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
2.4. Решите уравнение |
2− x + |
x +3 |
|
|
= 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
2− x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x +3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.5. Найдите первообразную функции |
f (x) = |
|
12 |
|
, график которой про- |
||||||||||
|
3x −2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ходит через точку |
A(9;30) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6.Моторная лодка проплыла 7 км против течения реки и 8 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.
2.7.Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12 см, а меньшая
боковая сторона — 4 3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 120°.
2.8. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной a и острым углом α. Меньшая диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = xx22 +−11.
3.2. Докажите тождество:
(sin(π−3α)−cos(32π +α))(sin(π2 +3α)+cos(π+α))= −sin4α. 1+cos(π−2α)
3.3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 см, а основание — 3 см. Найдите медиану треугольника, проведенную к его боковой стороне.
13
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Определите количество решений уравнения
1− x − 2 = a
в зависимости от значения параметра a.
4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: arctgx +arctg 1x = π2 .
4.3.м Решите уравнение:
log2x x2 − log4x x = 0 .
4.4.м Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры PC1 и PB1 на стороны AC и AB соответственно. Докажите, что C1AP= C1B1P.
14
Вариант 7
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1. Найдите значение выражения 25log |
3 5 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
+3 |
|
1 |
−9 |
|
|
|
|
|
|
||||
2.2. Упростите выражение |
2x 6 |
: |
4x 3 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
6x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6x 6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.3. Решите уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x +61−x = 7 . |
|
|
|
|
|
||||||||
2.4. Укажите область определения функции f (x) = |
4 |
|
+ |
8 |
. |
||||||||||
3x −15 |
x2 −36 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.5. Найдите первообразную функции |
|
f (x) = 4x3 −4x +6, |
график которой |
||||||||||||
проходит через точку A (1;5) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6.Какие три положительных числа надо вставить между числами 3 и 48, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?
2.7.В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите периметр трапеции.
2.8.Объем конуса с радиусом основания 6 см равен 96π см3. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите |
уравнение |
касательной |
к |
графику |
функции |
f (x) = 0,4x2 + 3x − 9, которая параллельна прямой y = 7x −8. |
|
||||
3.2. Упростите выражение |
(ctg2 α − tg2 α)cos2α tg2α , если π4 < α < π2 . |
3.3.Основанием пирамиды является правильный треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 60°. Найдите объем пирамиды, если ее
высота равна 12 см.
15
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м В зависимости от значения параметра a найдите критические точки функции f (x) = (2x −1)4 x − a .
4.2.м Решите неравенство:
x − 2 + 2x +5 ≥ 3.
4.3.м Постройте график функции:
y = arcsin x + arcsin 1− x .
4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены биссектрисы AA1 и BB1. Найдите углы треугольника ABC, если AA1=2BB1.
16
Вариант 8
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2.1. |
Упростите выражение |
m 3 |
−m 6 n 6 |
: |
m 3 −2m |
6 n |
6 + n3 |
. |
||
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
m 3 |
|
|
m 6 n 6 |
|
|
|
2.2. Решите уравнение:
7x +2 − 2 7x+1 +5 7x = 280.
2.3.Упростите выражение ctgα +1+sincosαα .
2.4.Первый член арифметической прогрессии равен –3, а разность равна 4. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 150?
2.5.Решите уравнение:
x− x +1 = 5.
2.6. Найдите наименьшее значение функции f (x) = |
x4 |
−2x2 |
на промежут- |
|
|||
4 |
|
|
ке [0; 4].
2.7.Высота BD треугольника ABC делит его сторону AC на отрезки AD и CD. Найдите отрезок CD, если AB = 2 3 см, BC=5 см, A=60°.
2.8.Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной
призмы, диагональ которой равна 12 3 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 5x и прямыми y = 4x +1 и x = 2 .
3.2.Решите неравенство lg2 100x − 7lgx ≥ 8 .
3.3.В прямоугольном треугольнике MNK ( N=90°) известно, что MN=6 см, MK=10 см. Найдите радиус окружности, проходящей через точки N, M и точку пересечения биссектрисы угла M с катетом NK.
17
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней
уравнения x3 + ax2 +bx −17 = 0 равен 2 −1? |
|
||||
4.2.м Сколько корней уравнения |
cos3x +cosx = 0 |
принадлежат промежут- |
|||
|
|
|
|
1−sin x |
|
ку |
− π; |
π |
? |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
4.3.м Найдите все пары действительных чисел (x; y), удовлетворяющие неравенству:
x2 +8x + 20 y2 −10y +34 ≤ 6 .
4.4.м Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.
18
Вариант 9
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Решите уравнение:
|
25x +25= 26 5x . |
|
|
|
|||
2.2. Найдите значение производной |
функции |
f (x) = e4x +e−x2 в точке |
|||||
x0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1 |
4 |
−1 |
|
|
2.3. Чему равно значение выражения |
2 |
93 |
|
? |
|||
|
−1 |
1 |
|||||
|
|
27 |
|
|
|||
|
|
9 |
44 |
|
|
||
2.4. Найдите область определения функции |
f (x) = |
10 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2−4 x |
2.5. Вычислите интеграл ∫3 (4x − x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Упростите выражение |
3sinα+2cos(60°+α) |
. |
|||||
|
|||||||
|
2sin(60°+α)− |
3cosα |
|
2.7.Из точки A, лежащей вне прямой m, проведены к этой прямой наклонные AC и AD, которые образуют с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите проекцию наклонной AD на прямую m, если AC = 4 2 см.
2.8.На расстоянии 12 см от центра шара проведена плоскость. Площадь образовавшегося сечения равна 64π см2. Найдите площадь поверхности шара.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Решите уравнение xlog2 x =16 .
3.2.Постройте график функции f (x) = |sinsin xx |
3.3.Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом α. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.
19
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение:
|
|
3 x − 2 + x + 6 = 6. |
|
|
|
4.2.м При каких значениях параметра a уравнение |
x3 − 7x2 + ax −8 = 0 имеет |
||||
три действительных корня, которые образуют геометрическую про- |
|||||
грессию? |
|
|
|
|
|
4.3.м Докажите, что cos |
π |
+cos3π +cos5π +...+cos17π = |
1 |
||
|
|||||
19 |
19 |
19 |
19 |
2 |
|
4.4.м На стороне BC треугольника |
ABC отметили |
точку D так, что |
BD:DC=2:3. В каком отношении медиана BM делит отрезок AD?
20