ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 80
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Упростите выражение |
16 |
− |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b +8b2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1log |
6 |
64−3log |
6 |
2 |
? |
|
2.2. Чему равно значение выражения 363 |
|
|
|
|||||||
2.3. Решите уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin2 x −cos2x = 0 . |
|
|
|
||||||
2.4. Решите уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x−1)x+2 = 32x 8x+2 . |
|
|
|
||||||
2.5. Найдите первообразную функции |
f (x) = sin x −e3x , график которой |
|||||||||
проходит через начало координат. |
|
|
|
|
|
|
||||
2.6.Чему равна сумма корней уравнения x4 +8x2 −9 = 0 ?
2.7.На стороне CD квадрата ABCD отметили точку K так, что ABK=60°. Найдите отрезок AK, если BC = 
6 см.
2.8.Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и образует с образующей цилиндра угол α. Найдите объем цилиндра.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите уравнение касательной к графику |
функции f (x) = 2x −3 |
||
в точке с абсциссой x0 = 2. |
|
|
|
3.2. Найдите область определения функции f (x) = |
(x +5)(2− x) |
|
|
lg(x2 +1) |
|||
|
|
||
3.3.Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, удален от концов
еебоковой стороны на 12 см и 16 см. Вычислите площадь трапеции.
161
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите неравенство:
20 3x −11 > 3x − 4.
4.2.м При каких значениях параметра b система
4x + ay = b ,x + y = a
имеет решения при любом значении параметра a? 4.3.м Решите уравнение:
(arcsin x)2 +(arccosx)2 = 536π2
4.4.м Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая AH во второй раз пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что BD = HB.
162
Вариант 81
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Упростите выражение sin2 α ctgα . sin2α
2.2. Найдите значение x, если
log0,6 x = 2log0,6 6−log0,612+log0,61,5.
2.3. Упростите выражение:
4b +100 |
|
b +5 |
|
b −5 |
|
|
b −25 |
: |
|
+ |
|
. |
|
b −5 |
b +5 |
|||||
|
|
|
2.4.Решите неравенство 52x−x2 > 1251 .
2.5.Найдите первообразную функции f (x) = 2x −6x2 −4x3 , график которой проходит через точку B (−1; −3).
2.6.Число 192 является членом геометрической прогрессии 6; 12; 24; ... .
Найдите номер этого члена.
2.7. В треугольнике ABC известно, что C=90°, A=15°, AC = 3
3 см, отрезок CM — биссектриса треугольника. Найдите отрезок AM.
2.8.Площадь боковой поверхности конуса равна 20π см2. Найдите объем этого конуса, если его образующая равна 5 см.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
|
1 |
−1 |
|
|
3.1. Решите уравнение 64tg2 x +8 = 9 8cos2 x |
|
|
||
. |
|
|
||
3.2. Найдите уравнение касательной к графику функции |
f (x) = |
3x2 −22x |
||
в точке с абсциссой x0 = −1. |
|
|
|
|
3.3. Боковое ребро правильной призмы |
ABCDA1B1C1D1 |
равно |
161 см, |
|
а диагональ призмы — 17 см. Найдите площадь |
четырехугольни- |
|||
ка AB1С1D.
163
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение
(x −a)arccos(x +5) = 0
имеет единственное решение?
4.2.м Решите систему уравнений:
3 x + 2y + 3 x − y + 2 = 3,
2x + y = 7.
4.3.м Решите неравенство:
logx (2x + 3) < 2 .
4.4.м В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов в отношении 1 :2, считая от вершины прямого угла. Расстояние от центра вписанной окружности до вершины прямого
угла равно 
18 см. Найдите стороны треугольника.
164
Вариант 82
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Чему равно значение выражения 25 |
− |
2 |
|
5 ? |
|
5 1 |
|||||
|
|||||
125 |
|
|
|||
15 |
|
||||
2.2. Найдите корень уравнения 0,0016x = 5 25x . |
|||||
2.3. Чему равно значение выражения |
|
|
cos(2α− π2), если cosα = −0,8 |
||
иπ2 < α < π?
2.4.Найдите множество решений неравенства log7(4x −6) > log7(2x −4) .
2.5. Составьте уравнение касательной к графику функции f (x) = 4x − 13 x3
вточке с абсциссой x0 = 3.
2.6.Решите уравнение 3 x2+1+ 3 x9+2 = 4.
2.7.На катете BC треугольника ABC ( ACB = 90°) отметили точку D.
Найдите площадь треугольника ABD, если AB = 25 см, AD =17см,
AC =15 см.
2.8.В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра
этого основания под углом β. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой этой хорды, равен l и образует с плоскостью основания угол α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Вычислите интеграл ∫3 |
9− x2dx . |
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
3.2. Упростите выражение |
2sin2 |
3α−1 |
||
|
|
. |
||
2ctg(π4 +3α)cos2 |
(π4 −3α) |
|||
3.3.Окружность, центр которой принадлежит стороне MK треугольника MKE, проходит через точку K, касается стороны ME в точке E и пересекает сторону MK в точке F. Найдите больший угол треугольника MKE, если сторона ME равна радиусу данной окружности.
165
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x2 + (2a − 3)x + a2 − 2a = 0
имеет два различных отрицательных корня?
4.2.м Решите уравнение:
log23 x + (x −1)log3 x =12 − 3x .
4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2x −33
x 2 на промежутке −1; 18 .
4.4.м В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Докажите, что диагонали четырехугольника перпендикулярны.
166
Вариант 83
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Чему равно значение выражения 13log5 278 +log5 75−log5 2?
2.2.Решите уравнение:
4x+2 +6 4x−1 = 70.
2.3. Решите неравенство (x +5)(x 2−2) ≤ 0. (x −1)
2.4. Вычислите значение выражения 6 (6− 5)6 + 8 (1− 5)8 .
2.5. Найдите первообразную функции f (x) = 3x2 − 4x +5, график которой проходит через точку M (2;–7).
2.6.Найдите функцию, обратную к функции y = 13 x +2.
2.7.Стороны параллелограмма равны 24 см и 30 см, а угол между его высотами — 30°. Найдите площадь параллелограмма.
2.8.Параллельно оси цилиндра, радиус основания которого равен 6
2 см, проведена плоскость, пересекающая основание цилиндра по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь сечения, если угол между диагональю сечения и указанной хордой равен 60°.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Составьте |
уравнение |
касательной |
к |
графику |
функции |
f (x) = −x3 − 12 x2 + 4 в точке с абсциссой x0 = 2 .
3.2.Найдите наибольший отрицательный корень уравнения cos2 x − 05,sin2x =1.
3.3.Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и середину
противолежащего бокового ребра проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды, если ее
высота равна H.
167
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x4 + (a + 2)x2 + a2 + 3a = 0
имеет три различных корня?
4.2.м Вычислите интеграл:
2
∫
4x − x2dx .
0
4.3.м Решите неравенство:
22x+1 −5 6x + 32x+1 ≥ 0 .
4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку P, принадлежащую прямой AB (но не отрезку AB), проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках K и L, вторую — в точках M и N. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.
168
Вариант 84
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Чему равно значение выражения log27 log8 5
32 ?
2.2.Упростите выражение 2sincos3αα + 2cossin3αα .
2.3.Решите уравнение:
4x2 −5x − 2 = −x . |
|
|
|
|
|
|
|||
2.4. Найдите множество решений неравенства |
|
x2 −4x +4 |
|
> 0. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
2.5. Найдите наименьшее значение функции |
f (x) = 1 x3 |
+ 1 x2 |
−6x |
на проме- |
|||||
жутке [0; 3]. |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.6. Найдите первообразную функции f (x) = |
3 |
|
|
, график |
которой |
||||
4x +5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
проходит через точку M(5;7).
2.7.В трапеции ABCD известно, что AD||BC, O — точка пересечения диагоналей, AO:OC=5:2, средняя линия трапеции равна 7 см. Найдите большее основание трапеции.
2.8.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см,
абоковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Постройте график функции f (x) = 2− sin x −1 .
3.2. Решите уравнение:
log22(4x)+log2 x82 = 8 .
3.3.Бóльшая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 9 см, а бóльшая боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.
169
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение:
43−4sin2 2x +15 4sin(π2−x)−4 = 0 .
4.2.м Найдите уравнение касательной к графику функции f (x) = −x2 −3, которая перпендикулярна прямой y − x −3 = 0.
4.3.м При каких натуральных значениях n многочлен
P(x) = (1−2x2)n +(3x −8)2n
делится нацело на многочлен x −5?
4.4.м На отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, отметили точку и соединили ее со всеми вершинами трапеции. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.
170