ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 85
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Найдите значение выражения ( 8−3 7 + 8+3 7 )2 .
2.2.Укажите область значений функции f (x) = 7cosx .
2.3.Решите неравенство log1(x +2) > log1(x2 − x −1).
33
2.4.Решите уравнение cos2x +cosx = 0.
1 |
|
1 |
|
|
|
2.5. Вычислите интеграл ∫ |
|
|
−3 |
dx . |
|
|
2 |
||||
1 |
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2.6. Арифметическая прогрессия ( an) задана формулой общего члена an = 5n −12. Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.
2.7. Периметр треугольника ABC, описанного около окружности, равен 30 см. Точка касания окружности со стороной AB делит ее в отношении 3:2, считая от точки A, а точка касания со стороной BC удалена от точки C на 5 см. Найдите сторону AC.
2.8. В |
прямоугольном параллелепипеде |
ABCDA1B1C1D1 известно, что |
|
AD = 24 см, |
CD = 5 см, AA1 =10 см. |
Найдите площадь прямоугольни- |
|
ка |
A1B1CD . |
|
|
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции |
f (x) = tg2x в точке |
|||||||
с абсциссой x |
0 |
= |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8 |
|
|
|
|
|
||
3.2. Докажите тождество |
cos(π2 − α4)−sin(π2 − α4 )tg α8 |
|
|
α |
||||
|
= tg |
8 . |
||||||
sin(52π + α4)−sin(α4 −3π)tg α8 |
||||||||
3.3.Через сторону правильного треугольника проведена плоскость, образующая с двумя другими сторонами треугольника углы по 45°. Найдите угол между плоскостью треугольника и проведенной плоскостью.
171
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите неравенство:
3−2x − x2 |
≤ |
3−2x − x2 |
|
|
x +8 |
2x +1 |
|||
|
|
4.2.м При каких значениях параметра a уравнение
( x −a)(22x −10 2x +16)= 0
имеет два различных корня?
4.3.м Постройте график уравнения:
cos2 x +cos2 y = 2.
4.4.м Докажите, что площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле S = (p − a)(p −b) , где p — полупериметр треугольника,
a и b — длины катетов.
172
Вариант 86
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Упростите выражение |
sin5α−sinα . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
cosα+cos5α |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.2. Решите неравенство 5x +5x+2 ≤130 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.3. Чему равно значение выражения |
(3 |
2 +1)( |
3 4 − 3 2 +1) |
? |
|||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
9 |
+5 |
(3− |
5) |
|
||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4.Решите неравенство x2 +26x +9 ≤ 0.
x−1
2.5. Вычислите интеграл ∫3 (x 2 +4x) dx .
−1
2.6.Найдите функцию, обратную к функции y = x −x 3 .
2.7.В треугольник ABC вписан ромб DMNA так, что угол A у них общий, вершина M принадлежит стороне BC, CM = 6 см, BM = 4 см, AB = 20 см. Найдите сторону ромба.
2.8.Ребро правильного тетраэдра DABC равно a. Найдите площадь его сечения, проходящего через ребро DC и середину ребра AB.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение:
log4(5x − 4)+ log4(5x −1)=1.
3.2.Число 48 представьте в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим.
3.3.В треугольнике ABC точка O — центр вписанной окружности. Найдите
радиус |
окружности, описанной около этого треугольника, если |
BO=2 |
3 см, CO =3 см, A=120°. |
173
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Для каждого значения параметра a решите неравенство: |
|
(3x −a) |
x −2 ≤ 0 . |
4.2.м Докажите, что при всех x > −1 выполняется неравенство: ln(x +1) ≤ x .
4.3.м Найдите корни уравнения:
cos2x +cos34x = 2 .
4.4.м Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равна одному из катетов. Найдите острые углы треугольника.
174
Вариант 87
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Сколько целых чисел содержит множество решений неравенства
(x +1)2(x +6)(x −2) < 0?
2.2.Решите уравнение log23 x − log3 x2 −8 = 0 .
2.3.К раствору массой 180 г, содержавшему 15 % соли, добавили 20 г воды. Какое процентное содержание соли в новом растворе?
2.4.Найдите корни уравнения:
cosx +cos2x +cos3x = 0 .
2.5. Чему равно наименьшее значение функции f (x) = 2x3 −15x2 + 24x + 3 на промежутке [0; 2]?
2.6. Найдите первообразную функции f (x) = 4x3 − 2x + 3, график которой проходит через точку A(1; 8).
2.7.Чему равна площадь параллелограмма со сторонами 9 см и 15 см, если одна из диагоналей перпендикулярна его стороне?
2.8.Радиус основания конуса равен R, а его осевое сечение — равносторонний треугольник. Найдите объем конуса.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите неравенство:
2x2 +x+1 − 3x2 +x > 3x2 +x−1 − 2x2 +x .
3.2.Решите уравнение:
2x2 −6x +40 = x2 −3x +8.
3.3.В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом b
ипротиволежащим ему углом β. Все боковые ребра пирамиды образуют
сплоскостью основания угол γ. Найдите объем пирамиды.
175
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на
математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если |
|
надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами. |
|
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение |
|
|
sin2 2x − asin2x = 0 |
имеет на промежутке |
π;π два корня? |
|
2 |
4.2.м Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f (x) = 
2x2 − 4 в точке с абсциссой x0 = 2.
4.3.м Решите уравнение:
2lg2(2x −1) = lg2(2x +1) − lg(2x −1) lg(2x +1) .
4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD провели диагональ AC. Окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются. Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
176
Вариант 88
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Найдите область определения функции y = 8 |
1− 6x . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
2.2. Вычислите значение выражения 2163 −162 +252 . |
|
|
|
|||||||||||||
2.3. Решите неравенство |
|
|
x2 −9x+8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(1,3) |
|
x−4 |
|
|
≥1. |
|
|
|
|
|
||||||
2.4. Решите уравнение: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
=1. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
lg x +3 |
3−lg x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.5. Найдите первообразную функции |
f (x) = 3x2 − 4x +5, |
график которой |
||||||||||||||
проходит через точку |
A(2;6) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.6. Найдите точку минимума функции |
f (x) = x2 − 1 x4 . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2.7. Отрезки |
AC и |
BD, изображенные |
на |
A |
|
|
|
|||||||||
рисунке, |
параллельны, |
BDM =90°, |
|
|
|
|
||||||||||
BM =10см, |
BD =8см, |
|
AC = 24см. |
C |
M |
D |
||||||||||
Найдите длину отрезка CD. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|||||||
2.8. Основание прямой |
призмы |
— |
|
прямо- |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
угольный треугольник с гипотенузой c и острым углом α. Диагональ боковой грани, содержащей катет, противолежащий углу α, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Упростите выражение:
cos5α |
sin5α |
sin10α−sin6α |
|
( sinα |
+ cosα ) |
cos4α |
|
3.2. Постройте график функции f (x) = 4 x4 +2x .
3.3. Основания равнобокой трапеции равны 6 см и 18 см, а диагональ — 13 см. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.
177
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение:
1+ 3x − 9x = 
4 − 3 3x .
4.2.м Найдите все значения параметра a, при которых функция f (x) = (a −8)x3 − 3(a −8)x2 −12x +5
убывает на R.
4.3.м Докажите тождество:
sin(arctgx) = |
x |
|
|
1+ x2 |
|||
|
|
4.4.м Окружность, построенная на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и BC в точках M и F соответственно. Найдите отношение площадей треугольников MFB и ABC, если
ABC=45°.
178
Вариант 89
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Вычислите значение выражения 10000−0,25 100 |
−1 |
|
2 |
|
3 |
10009 . |
|||
2.2.Решите неравенство 5 2x +2x−3 ≥ 82.
2.3.Найдите область определения функции y = lg1x−+21x .
2.4. |
Решите уравнение x −24 x −3= 0 . |
2.5. |
Найдите корни уравнения 1− cos2x + sinx = 0. |
2.6 Найдите первообразную функции |
f (x) =16x3 |
+e |
x |
, график которой про- |
2 |
||||
ходит через точку B (1;2 e). |
|
|
|
|
2.7. Высота равнобедренного остроугольного треугольника, проведенная к его основанию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около треугольника, — 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.
2.8.Основание пирамиды — треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см. Найдите площадь сечения, которое проходит параллельно плоскости основания и делит высоту пирамиды в отношении 1 :3, считая от вершины пирамиды.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение:
lg2100x −8lgx = 4 .
3.2. Вычислите значение выражения:
cos10°sin80°+sin2 280°cos2 100°+sin2 170°sin2 350°.
3.3.В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, пересекающая нижнее основу цилиндра по хорде, которая видна из центра этого ос-
нования под углом α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь образовавшегося сечения равна S.
179
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a функция
f (x) = x3 + ax2 − 2ax + 3
возрастает на всей числовой прямой?
4.2м Решите уравнение:
4x2 − 4x cos8πx +1= 0.
4.3.м Решите систему уравнений:
|
x |
+ 2 |
y |
= 12, |
4 |
|
|
||
|
3x − 2y = 5+ x − 3y . |
|||
|
||||
4.4.м В треугольнике ABC |
|
известно, что CAB=20°, CBA=40°. На |
||
стороне AB построен равносторонний треугольник ABM, точки M и C лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что ACM= MCB.
180