ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 75
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Упростите выражение sin128°cos68°−cos128°sin68° . cos44°cos16°−sin44°sin16°
2.2. Сколько целых решений имеет неравенство 161 ≤ 23−x < 8?
2.3. Чему равно значение выражения log518+log5 0,5 ? log512−2log5 2
2.4. Найдите область определения функции y = |
5 |
− |
|
1 |
. |
|
7x +3 |
x |
|
−2 |
|||
|
|
|
|
|||
2.5. Найдите промежутки убывания функции f (x) = 2x2 − x4 .
e2
2.6. Вычислите интеграл ∫ 2x dx . e
2.7.Найдите длину окружности, описанной около треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см.
2.8.В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра нижнего основания под углом 90°, а из центра верхнего основания — под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус его основания равен 4 см.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Чему равно значение выражения 3 1+ 
2 6
3− 2
2 ?
3.2.Решите уравнение:
5sinx − 6cosx = 5.
3.3.Через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60°. Площадь образовавшегося сечения равна 8
3 см2. Найдите объем призмы.
151
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют равенству:
log2 x2 + log2 y2 = 2log2 x + 2log2 y .
4.2.м Решите систему уравнений:
xy (x +1)(y +1) = 72,(x − 2)(y − 2) = −5.
4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = x3 − 2x x − 2
на промежутке [0; 3].
4.4.м Около треугольника ABC описана окружность. Из произвольной точки M окружности проведены перпендикуляры MN и MK к прямым AB и AC соответственно. Найдите положение точки M, для которого длина отрезка NK является наибольшей.
152
Вариант 76
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1 |
5 |
|
−2 |
1 |
−3,5 |
Упростите выражение x−1y4 |
x |
7 y14 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
2.2. |
Решите уравнение 5x+2 +5x =130 . |
2.3. |
Найдите координаты точки пересечения графиков функций y = 3−2x |
иy = x .
2.4.Какое наибольшее значение принимает функция f (x) = 4x3 − x6 +1?
2.5.Найдите третий член геометрической прогрессии, первый член которой
b1 = 2+ 3 , а знаменатель q = 2− 3 .
2.6.Бригада рабочих должна была изготовить 900 деталей. Из-за болезни одного из рабочих каждому из тех, кто работал, пришлось изготовить на 10 деталей больше, чем планировалось. Сколько рабочих в полном составе бригады?
2.7.Диагонали трапеции ABCD (BC||AD) пересекаются в точке O. Найдите
отношение площадей треугольников AOD и BOC, если AO = 8 см,
OC = 5 см.
2.8.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a, а ее диагональное сечение — прямоугольный треугольник. Найдите объем пирамиды.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение:
logx 125x log52 x = 4 .
3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = x2x−1.
3.3. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 24 см и 40 см соответственно. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины угла при его основании.
153
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a функция f (x) = ln( a2 + x2 + x) является нечетной?
4.2.м Найдите площадь треугольника, ограниченного осью ординат, прямой
|
|
y = 7− x и касательной к графику функции |
|
f (x) = x2 −2x +4 в точке |
|||||
|
с абсциссой x0 = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. |
м |
Найдите значение выражения |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
ctg |
2 |
arccos |
|
|
|
|||
|
|
10 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.4.м Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке J. Точка J1 – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Биссектриса угла B пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что DJ = DJ1.
154
Вариант 77
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Упростите выражение cos(32π −α)+sin(π−α).
2.2.Решите уравнение:
|
10 |
|
− x −9 = 3 . |
|
|
x −9 |
|
||||
|
|
|
|
||
2.3. Вычислите значение выражения |
log7 28−log7 |
4 . |
|||
|
|
|
3log6 3+log6 |
8 |
|
2.4. Решите уравнение: |
|
|
|
||
|
4x −3 4x−2 = 52 . |
|
|||
2.5. Найдите точку максимума функции |
f (x) = 1 x3 + x2 −8x +7 . |
||||
|
|
|
|
3 |
|
2.6. Арифметическая прогрессия |
(an) |
задана |
формулой общего члена |
||
an = 6n −1. Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.
2.7.Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а медиана, проведенная к гипотенузе, — 6,5 см. Вычислите площадь этого треугольника.
2.8. Точка K находится на расстоянии 2 см от плоскости α. Наклонные KA и KB образуют с плоскостью α углы 45° и 30° соответственно, а угол между наклонными равен 135°. Найдите расстояние между точками A и B.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите область определения функции f (x) = logx −4(14 +5x − x2) .
3.2. Постройте график функции y = |
x6 |
−2 . |
|
x |
|||
|
|
3.3. Основание прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник с основанием a и углом α при вершине. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание равнобедренного треугольника, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем цилиндра, описанного около призмы.
155
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a функция f (x) = 3lnx − ax + 4
не имеет критических точек?
3 |
x |
−1dx . |
4.2. Вычислите интеграл ∫ |
3x |
|
−3 |
3 |
+1 |
|
|
4.3.м Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют равенству:
cosx cosy = 1.
4.4.м Докажите, что окружность, проходящая через ортоцентр треугольника и две его вершины, равна окружности, описанной около треугольника.
156
Вариант 78
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. |
3 |
3 |
5 3 |
|
|
Чему равно значение выражения |
|
|
|
? |
|
|
5 |
9 |
|||
|
|
|
|
||
2.2. Решите уравнение:
|
|
7x 2x−3 = 0,125 149−2x . |
|||
2.3. |
Упростите выражение |
cos(−β)−cos3(−β) |
|
. |
|
sin(−β)cos2 β |
|||||
|
|
|
|||
2.4. Найдите значение выражения log3 6 log6 7 log7 9. |
|||||
2.5. Найдите промежутки убывания функции |
f (x) = (3x −1)e2x . |
||||
2.6.Комбайнер должен был собрать урожай с поля площадью 60 га. Он собирал ежедневно урожай с площади на 2 га большей, чем планировал, а поэтому закончил уборку урожая на 1 день раньше срока. За сколько дней комбайнер собрал урожай?
2.7.Сумма внешних углов треугольника ABC, взятых по одному при вершинах A и C, равна 230°. Найдите угол ABC.
2.8.Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна диаметру основания.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x − x2 , касательной, проведенной к данной параболе в точке с абсциссой x0 = 3, и осью ординат.
3.2. Найдите область определения функции:
f (x) = 
cosx + (x + 2)(1− x) .
3.3.Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 12 см и 16 см. Найдите высоту трапеции.
157
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите систему уравнений:
xlog2 y + ylog2 x =16,
log2 x −log2 y = 2.
4.2.м Решите неравенство:
(3x − 9)
x2 − 2x −8 ≤ 0.
4.3.м При каких значениях параметра a уравнение
(x −1)arccos(x − a) = 0
имеет единственное решение?
4.4.м Известно, что M — точка пересечения отрезков AB и CD, MA MB=MC MD. Докажите, что точки A, B, C и D принадлежат одной окружности.
158
Вариант 79
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Сократите дробь |
|
b −49b0,5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
b0,75 −7b0,5 |
|
|
|
|
|
||
2.2. Решите неравенство (32)8+4x−x2 |
< |
8 |
. |
|
|
|||
27 |
|
|||||||
2.3. Решите уравнение |
x +7+ x +10 = 3. |
|
||||||
2.4. Чему равно наибольшее значение функции f (x) = |
x3 |
−3x2 +5x −7 на |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|||
промежутке [0; 3]?
2.5.Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии 10,5; 9,8; 9,1; ... .
2.6.Решите уравнение 2cos5x +sin3x −sin7x = 0 .
2.7.Из точки K, не лежащей на прямой a, проведены к этой прямой наклонные KA и KB, которые образуют с ней углы 45° и 30° соответственно. Найдите длину проекции наклонной KB на прямую a, если
KA = 8 6 см.
2.8.Радиус основания конуса равен 2 5 см, а расстояние от центра его основания до образующей — 4 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Решите уравнение lg(42lgx −x3) =1.
3.2.Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f (x) = xx+−12 в точке с абсциссой x0 = 2.
3.3.Основание прямой призмы — ромб с острым углом α, площадь которого равна S. В призме проведено диагональное сечение, проходящее через
меньшую диагональ основания. Диагональ этого сечения наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
159
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение:
2cosx cos2x = 
6cosx +5sin2x .
4.2.м Определите количество решений системы
3x + y − 2 = 0,y = a + 
x
в зависимости от значения параметра a.
4.3.м Решите уравнение:
9x − (14 − x) 3x + 33− 3x = 0.
4.4.м В окружности, радиус которой равен R, проведены две пересекающиеся
хорды AB и CD. Известно, что AC2 + BD2 = 4R2 . Докажите, что хорды AB и CD перпендикулярны.
160