ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 15
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Найдите область значений функции f (x) = x2 −10x +27 .
2.2.Упростите выражение:
|
x +1 |
|
− |
x −1 |
|
|
: 4 x . |
|
|
|
|
|
|||||
x −1 |
x +1 |
|||||||
|
|
|
x −1 |
|||||
2.3. Решите уравнение:
4x6−2 − 4x5+1 = 2 .
2.4.Двое рабочих, работая вместе, могут изготовить некоторое количество одинаковых деталей за 10 ч. За сколько часом может изготовить эти детали один рабочий, если другому для этого надо 35 ч?
2.5.Найдите наибольшее значение функции y = x + 4x на промежутке [1; 3].
2.6.Решите уравнение:
1+sin2x = (sin2x −cos2x)2 .
2.7.Основания равнобокой трапеции равны 4 см и 6 см, а диагональ является биссектрисой ее острого угла. Вычислите площадь трапеции.
2.8.Из точки M к плоскости α проведены наклонные MB и MC, образующие
сплоскостью углы, равные 30°. Найдите расстояние от точки M до плоскости α, если BMC=90°, а длина отрезка BC равна 8 см.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = 4− x2
и прямой y = x +2. |
|
|
|
|
3.2. Найдите область определения функции |
f (x) = log |
0,3 |
x −1 |
. |
|
||||
|
|
x +5 |
||
3.3.Основание прямой призмы — ромб со стороной a и тупым углом α. Через бóльшую диагональ нижнего основания и вершину тупого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Найдите объем призмы.
31
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Найдите уравнение касательной к |
графику функции f (x) = |
x +4 |
, |
|
x +3 |
||||
проходящей через точку O (0; 0). |
|
|
||
|
|
|
||
4.2.м Решите неравенство: |
|
|
|
|
x2 −3x −18 < 4− x . |
|
|||
4.3.м Найдите все значение параметра a, при которых уравнение |
|
|||
a2 cos πx +ax2 |
=1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
имеет единственное решение.
4.4.м Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания, пересекает боковые стороны и делит их пополам. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен R.
32
Вариант 16
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Чему равно значение выражения (4 3 − 4 2 )(4 3 + 4 2 )(
3 + 
2 )?
2.2.Решите уравнение:
x2 + 7x +12 = 6− x .
2.3.Вычислите значение выражения 102lg5 −49log7 4 .
2.4.При каком положительном значении x значения выражений x −7 , x +5 , 3x +1 являются последовательными членами геометрической про-
грессии?
2.5. Укажите область определения функции y = ln 4x−−52x .
ln3
2.5. Вычислите интеграл ∫e3x dx .
ln2
2.7.Высота равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки длиной 4 см и 16 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание треугольника.
2.8.Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды наклонена к плос-
кости основания под углом α. Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды и середину апофемы, равен a. Найдите объем пирамиды.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
2x − 4
3.1.Постройте график функции f (x) = 2x − 4
3.2.Докажите тождество:
(tg94π + tg(52π −α))2 +(ctg 54π +ctg(π−α))2 = sin22 α .
3.3.Точка пересечения биссектрис острых углов при большем основании трапеции принадлежит меньшему основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны равны 17 см и 25 см, а высота — 15 см.
33
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите неравенство:
cosx 4x −3− x2 ≥ 0.
4.2.м Найдите наименьшее значение функции f (x) = x2 + | 2x +1| на проме-
жутке [–1; 0].
4.3.м Прямая y = 6x − 7 касается параболы y = x2 +bx + c в точке M(2; 5). Найдите уравнение параболы.
4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E.
Известно, что SABE = 1 см2, SDCE = 4 см2, SABCD ≤ 9 см2. Найдите площади треугольников ADE и BCE.
34
Вариант 17
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Найдите корни уравнения 
3sinx − cosx = 0 .
2.2. Вычислите значение выражения 3log611 2log611 .
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2.3. |
Упростите выражение |
m −3m6 |
+ |
n3 |
−m3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m6 −3 |
|
n6 +m6 |
|
|
|
|
|
||
2.4. Решите уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
22x+1 +3 2x −2 = 0. |
|
|
|
||||||
2.5. Найдите первообразную функции |
f (x) |
= |
|
3 |
−2x , график которой |
||||||
2 |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
проходит через точку N(9; –8).
2.6.Лодка, собственная скорость которого равна 8 км/ч, проплыла 15 км против течения реки и вернулась назад, затратив на весь путь 4 ч. Найдите скорость течения реки.
2.7.Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его сторону AB в точке M, а сторону BC — в точке K, BM=4 см, AC=8 см, AM=MK. Найдите сторону AB.
2.8. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а апофема — 15 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Докажите тождество |
sin2 2α−4sin2 α |
|
|
= tg4 |
α . |
|||
sin2 2α+ 4sin2 α−4 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
log2 x |
|
|
||||
3.2. Постройте график функции f (x) = |
|
2 |
|
|
. |
|
||
log2 x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
3.3.Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом a
ипротиволежащим углом α. Диагональ боковой грани, содержащая гипотенузу, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.
35
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите неравенство:
(x2 − x − 2)
cosx ≤ 0.
4.2.м Решите неравенство:
8x − 7 4x + 7 2x +1 −8 > 0 .
4.3.м Сколько критических точек на промежутке [0; 1] имеет функция f (x) = x33 − ax22
в зависимости от значения параметра a?
4.4.м В треугольнике ABC проведена медиану AA1. Через точку C проведен отрезок FN, равный отрезку AA1 и параллельный ему. Найдите площадь четырехугольника AFNA1, если площадь треугольника ABC равна S.
36
Вариант 18
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
a6b2 |
|
|
|
||
2.1. Найдите значение выражения |
|
|
|
|
при a = 6, b = 9. |
||||
|
1 |
9 |
|
||||||
|
|
|
|
|
a2b |
8 |
|
|
|
2.2. Решите неравенство (32)x2 |
≥ (23)5x−6 . |
|
|
|
|||||
2.3. Упростите выражение |
|
sin(30°+α)−cos(60°+α) |
. |
||||||
|
|
||||||||
|
|
sin(30°+α)+cos(60°+α) |
|||||||
2.4. Решите уравнение x2 − x −6 = |
−2x . |
||||||||
2.5. Вычислите значение |
производной |
функции f (x) = ( x +1)5 в точке |
|||||||
x0 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6.Катер прошел 24 км против течения реки и 27 км по озеру, затратив на весь путь 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
2.7.На стороне BC прямоугольника ABCD отметили точку М. Найдите площадь четырехугольника AMCD, если AM=13 см, AB=12 см, BD=20 см.
2.8.В основании конуса проведена хорда длиной 8
2 см на расстоянии 4 см от центра основания. Найдите объем конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Решите уравнение 6sin2 x −3sin x cosx −5cos2 x = 2 .
3.2.При каком значении a прямая x = a делит фигуру, ограниченную
графиком функции |
y = 8 |
и прямыми y = 0 , x = 2, x = 8 , на две |
равновеликие части? |
x |
|
|
|
3.3.В равнобедренный треугольник вписана окружность, радиус которой равен 10 см, а точка касания делит боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 8 :5, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь этого треугольника.
37
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение
4x − (a + 3) 2x + 4a − 4 = 0
имеет только один действительный корень?
4.2.м Решите уравнение:
2log22 x + xlog2 x =1024 .
4.3.м Докажите неравенство:
2n > 2n +1, n N , n ≥ 3.
4.4.м В треугольнике ABC точка D — основание биссектрисы, проведенной из вершины C, A1C + BC1 = CD1 . Докажите, что ACB=120°.
38
Вариант 19
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Вычислите значение выражения (6 8 −4 25 )(6 8 +4 25 ).
2.2.Решите неравенство:
165−3x ≥ 0,1255x −6 .
2.3. Найдите первообразную функции f (x) = 4e2x −1, график которой проходит через точку A (1; 3e).
2.4.Решите уравнение lg10x lg0,1x =3.
2.5.Чему равен первый член арифметической прогрессии, разность которой равна 4, а сумма первых тридцати членов равна 2100?
2.6.Найдите промежутки возрастания функции f (x) = 4xx+−25 .
2.7.Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.
2.8.Высота конуса равна 6 см, а угол при вершине осевого сечения — 120°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами y = x2
и y = 4x − x2 .
3.2.Решите уравнение 
x +8 − 
2x −1 = 2.
3.3.Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с плоскостью одной боковой грани угол α, а с плоскостью другой боковой грани — угол β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
39
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение
2x − 3 = x + a
имеет три решения?
4.2.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству:
(2sin x +1)(2cos y +3) ≥15.
4.3.м Докажите, что при x > 0 выполняется неравенство x > sin x .
4.4.м В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, которые пересекаются в точке M. Докажите, что прямая, содержащая высоту MK треугольника DMB, также содержит медиану треугольни-
ка CMA.
40