ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 95
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. |
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби |
4 |
. |
||||
3 25 + 3 5 +1 |
|||||||
2.2. |
Решите неравенство ( |
9 |
)x (53)x−2 > ( |
27 |
)x . |
|
|
25 |
125 |
|
|
||||
2.3.Найдите корни уравнения 6cos2 x +5sinx − 7 = 0.
2.4.Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции
f(x) = x2 +14x +43.
2.5.Решите неравенство x22 −4x +4 ≥ 0. x − x −12
2.6.В растворе соли в воде масса соли составляет 14 массы воды. Сколько процентов массы раствора составляет масса соли?
2.7.Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 13 см и 15 см. Найдите расстояние от данной точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см.
2.8.Диагональ прямоугольника равна a и образует с его меньшей стороной угол β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, образованного вращением данного прямоугольника вокруг его меньшей стороны.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Вычислите значение выражения log9 10 lg11 log1112 log12 27 .
3.2. Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 5x и прямой x + y = 6.
3.3.Основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD. Боковая грань BMC перпендикулярна плоскости основания, грань AMD наклонена
кплоскости основания под углом 30°, грани AMB и CMD образуют с плоскостью основания равные углы. Найдите угол наклона грани AMB
кплоскости основания.
191
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите неравенство:
(x − 4)
x2 − x − 2 ≥ 0.
4.3.м Найдите корни уравнения:
− cos2x = cosx − sinx .
4.3.м Решите уравнение:
2x −1 + 2x − 2 =1.
4.4.м Даны две концентрические окружности. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки одной окружности до концов диаметра другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного диаметра.
192
Вариант 96
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Упростите выражение:
|
|
2b |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
− |
|
|
. |
b |
2 |
−25 |
|
2 |
+10b + 25 |
25−b |
2 |
|||
|
b |
|
|
|
|
|||||
2.2.Решите уравнение 62x−1 − 13 6x −4 = 0.
2.3.Решите неравенство:
|
log1(3x −1) > −3. |
|
2 |
2.4. Вычислите интеграл ∫2 |
(4x −1)dx . |
−1 |
|
2.5. Решите уравнение: |
1− cos2x = 2sin x . |
|
2.6. Найдите разность арифметической прогрессии ( an), если a5 +a12 = 41
и a10 +a14 = 62.
2.7.Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 3 см и 5 см, а меньшая диагональ — 
58 см. Чему равен периметр трапеции?
2.8. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием b и углом β при вершине. Диагональ грани, содержащей боковую сторону треугольника, образует с плоскостью основания угол γ. Найдите объем призмы.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение 3x +1− x +1 = 2.
3.2. Составьте уравнение касательной к графику функции f (x) = x2 +3x , которая параллельна прямой y = x .
3.3.Отрезок AK — медиана треугольника ABC, AC=a, BAK=α, CAK=β. Найдите медиану AK.
193
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите неравенство:
logx(4x −3) ≤ 2.
4.2.м Решите уравнение:
( 3+ 8)x +( 3− 8)x = 6. |
|
|
4.3.м Определите, при каких значениях параметра a уравнения cosx − 1 |
= 0 |
|
|
2 |
|
и (cosx − 12)(cosx + a −2 |
2)= 0 равносильны. |
|
4.4.м Точка M — середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AB и MC отметили соответственно точки N и P так, что отрезок NP разбивает треугольник ABC на две равновеликие части. Докажите, что MN || BP.
194
Вариант 97
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Вычислите значение выражения 0,125 |
−1 |
1 |
|
− |
1 |
|
3 + 0,2163 − 2 |
16 |
|
4 . |
|||
2.2. Упростите выражение (1+cos(2π−2α))ctg(32π +α). |
|
|
|
|
||
2.3. Решите уравнение 10−3x = −x . |
|
|
|
|
|
|
2.4. Найдите множество решений неравенства |
x2 −5x −14 |
≤ 0 . |
|
|
||
x2 −2x +1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2.5. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции f (x) = 
5x +1 в точке с абсциссой x0 = 3.?
|
|
2 |
+ y |
2 |
+8xy = 81, |
|||
|
16x |
|
|
|||||
2.6. Решите систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y =1. |
|
|
|
||||
2.7. На стороне BC треугольника ABC отметили |
точку D. Найдите отре- |
|||||||
зок BD, если C = 90°, BAC = α, BAD = β, AB = c. |
||||||||
2.8. Диагонали грани |
BB1C1C призмы |
ABCA1B1C1 |
пересекаются в точке O. |
|||||
|
JJJG |
|
|
|
|
JJG |
JJJJG |
JJG |
Выразите вектор |
AO через векторы |
|
AB , |
AC |
и AA1 . |
|||
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение:
xlgx−3 =10 000.
3.2. Постройте график функции f (x) = 6 sinx −1.
3.3.Плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра основания под углом β.
Плоскость сечения образует с высотой конуса угол ϕ. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна H.
195
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Вычислите интеграл ∫2 | x +1| dx .
−2
4.2.м На гиперболе |
y = 1 |
, x >0, задана точку |
M(x |
0 |
;y |
0 |
) такаю, что |
|
x |
|
|
|
|
x0 = 19 y0 . Найдите площадь треугольника, образованного касательной
кгиперболе в точке М и осями координат.
4.3.м Решите уравнение:
cos π2x = x2 +8x +17.
4.4.м В прямоугольную трапецию ABCD ( BC||AD, AB AD) вписана окружность с центром O. Найдите площадь трапеции, если OC = 12 см,
CD = 20 см.
196
Вариант 98
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Представьте в виде степени с рациональным показателем выражение
b13 6 b |
b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2. Чему |
равно значение выражения |
3tg7αctg7α−2cos(π2 +α), |
если |
||||||
sinα = 0,25 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Найдите значение выражения 3lg4+lg0,5 . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
lg9−lg18 |
|
|
|
|
|
||
2.4. Вычислите значение |
производной функции f (x) = e3x2−4x+1 в |
точке |
|||||||
x0 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
)dx . |
|
|
|
|
|
|
2.5. Вычислите интеграл |
∫2 (3sin3x − 12cos |
x |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Найдите область определения функции |
f (x) = log3 |
(9− x2)+ |
|
1 |
. |
|
|||
x |
+1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.7.Один из катетов прямоугольного треугольника равен 21 см, а другой катет на 7 см меньше гипотенузы. Найдите площадь треугольника.
2.8.Через две образующие конуса, угол между которыми равен α, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен R, а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен β.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Решите неравенство (17)2x−1 −8(17)x +1≤ 0 .
3.2.Решите уравнение sin2x + sin8x = 
2cos3x .
3.3.Биссектриса угла прямоугольника делит диагональ на отрезки длиной 30 см и 40 см. На отрезки какой длины делит эта биссектриса сторону прямоугольника?
197
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение 23−x2 = x2 +8.
4.2.м Найдите множество значений функции f (x) = cosx − 
− sin2 3x .
4.3.м Решите неравенство:
2 + 3logx +1 3≥ log3(x +1) .
4.4.м Продолжения высот остроугольного треугольника ABC, проведенных к сторонам BC, AC и AB, пересекают описанную около этого треугольника окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника A1B1C1 совпадает с ортоцентром треугольника ABC.
198
Вариант 99
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Чему равно значение выражения arcsin(cos 23π)?
2.2.Упростите выражение c2 +c14+c6+49 :(c13+6 −c +6).
2.3. Найдите производную функции f (x) = |
x2 |
. |
|
|
x +2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
2.4. Найдите область определения функции |
f (x) |
= |
3− x |
. |
|
||||
|
|
|
3x −1 |
|
2
2.5. Вычислите интеграл ∫(3x2 −6x −1)dx .
1
2.6. Решите уравнение:
log3(x − 3) + log3(x −1) =1.
2.7.В равнобедренном треугольнике MKE ( MK=KE) биссектриса угла E пересекает сторону MK в точке C. Найдите углы треугольника MKE, если
KCE =126°.
2.8.Площадь полной поверхности конуса равна 90π см2, а его образующая больше радиуса основания на 8 см. Найдите объем конуса.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение 3 x2 −4x +20 +4x = x2 +10 . 3.2. Докажите тождество:
sin2 (π4 −2α)−sin2 (π4 +2α)= −sin4α .
3.3.Основание пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD. Боковая грань ASB перпендикулярна плоскости основания, грани CSB и ASD наклонены к плоскости основания под углом β, а грань CSD — под углом ϕ. Найдите объем пирамиды, если AB=2a.
199
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Найдите решения системы уравнений в зависимости от значения параметра a:
|
a , |
sinxcosy = |
|
|
1. |
siny cosx = |
|
|
|
4.2.м Решите неравенство:
log2 (9−2x )≥ 3log3(3−x) .
4.3.м При каких значениях a и b прямая y = 7x −3 касается параболы y = ax2 +bx +1 в точке B (1; 4)?
4.4.м Трапеция ABCD (BC||AD) вписана в окружность. Точка O — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если BOA = 60°, а высота трапеции равна h.
200