ДПА-11-2014-2

Вариант 40

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение a0,5a0,5−5 − a0,55+5 + 2550−a .

2.2. Решите систему уравнений x3− y =3 2,

x − y = 56.

2.3.Упростите выражение 11++ctgtgαα .

2.4.Сколько целых решений имеет неравенство log0,4 3x > log0,4(x +12)?

2.6.Какой номер первого положительного члена арифметической прогрессии

–7,2; –6,7; –6,2; ... ?

2.7.Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD так, что AD=12 см, CD=4 см. Найдите сторону BC, если A=30°.

2.8.Основание прямой призмы — треугольник со стороной c и прилежащими

кней углами α и β. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания, противолежащую углу α, наклонена к плоскости основания под углом γ. Найдите высоту призмы.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение:

4 9x −7 12x +3 16x = 0.

3.2.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = (x −1) x .

3.3.Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см.

81

Вариант 41

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1.Найдите сумму десяти первых натуральных чисел, кратных числу 7.

2.2.Решите уравнение:

3 1− x2 = 3− x .

2.3.Найдите область определения функции y = 63x3x−−278 .

2.4.Решите уравнение:

sin2 x +4sin x cosx +3cos2 x = 0.

2.5. Найдите значение производной функции f (x) = ln3 x в точке x0 = e .

π

2.6. Вычислите интеграл ∫8 dx .

π sin2 4x

16

2.7. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к его основанию как 5:6, а высота треугольника, опущенная на основание, равна 12 см. Вычислите периметр треугольника.

2.8.Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45°. Объем призмы равен 108 см3. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение log5(5x − 4) = 1− x .

3.2. Постройте график функции f (x) = x−2, если x ≤ −1, Пользуясь постро-

x2, если x > −1.

енным графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции.

3.3.Через сторону квадрата проведена плоскость, образующая с плоскостью квадрата угол 45°. Найдите угол между диагональю квадрата и этой плоскостью.

83

Вариант 42

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1.Вычислите значение выражения 36log2 4 23 2 .

2.2.Сократите дробь a2a+2 −a 9−6 .

2.3.Решите неравенство 1x ≥ 12 .

2.4. Вычислите интеграл ∫2 (x2 −4x +5)dx .

−1

2.5. Решите уравнение:

3cos2 x + 7sinx −5 = 0.

2.6. При каком значении a наименьшее значение функции f (x) = x2 −2x +a равно 2?

2.7.Длины диагоналей ромба относятся как 3 :1. Найдите площадь ромба, если его периметр равен 40 см.

2.8.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из острых углов равен α. Найдите объем конуса, образованного при вращении этого треугольника вокруг катета, противолежащего данному куту.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство:

log0,2(x −1) + log0,2(x + 3) ≥ −1.

3.2.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = x2x−216 .

3.3.В равнобедренном треугольнике ABC известно, что AB = BC = 17 см, отрезок BD — высота, BD = 15 см. Прямая, параллельная основанию треугольника, пересекает стороны AB и BC в точках M и K соответственно и разбивает данный треугольник на две равновеликие части. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MBK.

85

Вариант 43

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения 2lg5+ 12lg16?

2.2. При каком значении a график функции y = ax−3 проходит через точ-

ку A (3; 541 )?

2.3. Решите уравнение:

22x+3 +4x = 72.

2.4. Чему равен первый член арифметической прогрессии, разность которой равна 0,8, а сумма первых десяти членов равна 22?

2.5. Найдите корни уравнения:

1− cos8x = sin4x .

2.6. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции f (x) = ln(2x +1) в точке с абсциссой x0 =1,5?

2.7.Вычислите площадь ромба, если его сторона равна 5 см, а сумма диагоналей — 14 см.

2.8.Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC, длины которых равны 15 см и 20 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если проекции наклонных на эту плоскость относятся как 9:16.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение 4 (x +1)4 = 2x −3 .

3.2. Постройте график функции f (x) = lgcosx .

3.3. Через две образующие конуса проведена плоскость, которая наклонена к плоскости его основания под углом α. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра его основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его образующая равна m.

87

Вариант 44

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область значений функции y = π−2arctg x .

2.2. Решите систему уравнений x − y = 2,

x2 − y2 = 8.

2.3.Решите уравнение sin2 x +sin xcosx = 0 .

2.4.Решите неравенство:

log2 (2x −1) < log2 (11−3x).

2.5. Решите уравнение 4 x1−1+ 4 x3+1 = 2.

π

2.6. Вычислите интеграл ∫4 sin2x dx .

0

2.7.Прямая a — общая внешняя касательная двух окружностей, радиусы которых равны 3 см и 8 см, а расстояние между их центрами — 13 см. Найдите расстояние между точками касания прямой a с данными окружностями.

2.8. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 8 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = x2 + 2x .

3.2.Докажите тождество:

1−cosα+sinα = 2 2sin α2 sin(α2 + π4).

3.3.Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами ее острых углов и точкой пересечения делятся в отношении 5:13. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 9 см.

89