ДПА-11-2014-2

Вариант 65

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.3.Решите уравнение 5x8−3 − 5x6+1 = 3.

2.4.К бассейну подведены две трубы, через которые его можно наполнить за 4 ч. Если открыть только первую трубу, то бассейн наполнится за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн, если открыть только вторую трубу?

2.6.Решите уравнение 1−sin2x = (cos2x +sin2x)2 .

2.7.Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой ее тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

2.8.Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC, которые образуют с плоскостью углы, равные 60°. Найдите расстояние между точками B и C, если BAC=90°, а расстояние от точки A до плоскости α равно 3 см.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1.Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = 4− x2 и прямой y = 2− x .

3.3.Основание прямой призмы — ромб с большей диагональю d и острым углом α. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол γ. Найдите объем призмы.

131

Вариант 66

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения ( 7 + 5 )( 4 7 + 4 5 )( 4 7 − 4 5 )?

2.2. Решите уравнение x2 +5x −24 = 4− x .

2.3. Вычислите значение выражения 62−log6 9 −25log5 3 .

2.4. При каком отрицательном значении x значения выражений 2x −3, x −4 , x +2 будут последовательными членами геометрической прогрессии?

2.5. Найдите область определения функции y = logπ 2x−−33x .

ln4

2.6. Вычислите интеграл ∫ e−xdx .

ln3

2.7. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см и делит ее на две части, одна из которых, прилежащая к вершине равнобедренного треугольника, равна 6 см. Найдите основание треугольника.

2.8.Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует с плос-

костью основания угол β. Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды и середину бокового ребра, равен b. Найдите объем пирамиды.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.2. Докажите тождество:

(ctg134π + tg(2π−β))2 +(tg174π +ctg(72π −β))2 = cos22 β .

3.3.Точка пересечения биссектрис тупых углов при меньшем основании трапеции принадлежит большему основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны равны 10 см и 17 см, а высота — 8 см.

133

Вариант 67

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите корни уравнения sin x + 3cosx = 0.

2.2. Вычислите значение выражения 2lg7 5lg7 .

проходит через точку M (4; –3).

2.6.Лодка, собственная скорость которой равна 6 км/ч, проплыла 8 км по течению реки на 1 ч быстрее, чем такое же расстояние против течения реки. Найдите скорость течения реки.

2.7.Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его сторону AB в точке M, а сторону BC — в точке K, BK=2 см, AC=12 см, MK=KC. Найдите сторону BC.

2.8.Высота правильной треугольной пирамиды равна 15 см, а апофема — 17 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество:

3.2. Постройте график функции f (x) = log32 x logx 3 .

3.3.Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом α. Диагональ боковой грани, содержащей катет, противолежащий углу α, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

135

Вариант 68

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.3. Упростите выражение sin(45°+α)+cos(45°+α) . sin(45°+α)−cos(45°+α)

2.4. Решите уравнение x2 + x −16 = −5x .

2.5. Вычислите значение производной функции f (x) = ln(x2 − 4x) в точке x0 = 5.

2.6.Катер прошел 24 км по течению реки на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 3 км/ч.

2.7.На катете AC прямоугольного треугольника ABC ( A=90°) отметили точку K. Найдите площадь треугольника KBC, если AK=8 см, BK=17 см,

BC=25 см.

2.8.В основании конуса проведена хорда длиной 12 см, которая видна из центра основания под углом 120°. Найдите объем конуса, если его образующая равна 8 см.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1.Решите уравнение 5sin2 x + 3sin x cosx + 4cos2 x = 3.

3.2.При каком значении a прямая x = a делит фигуру, ограниченную

3.3.В равнобедренный треугольник вписана окружность, центр которой удален от вершины равнобедренного треугольника на 51 см, а точка касания делит боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 8:9, считая от вершины угла при основании. Найдите площадь этого треугольника.

137

Вариант 69

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1.Вычислите значение выражения ( 4 49 + 6 125 )( 4 49 − 6 125 ).

2.2.Решите неравенство:

257−5x ≤ 0,0083x−1 .

2.3. Найдите первообразную функции f (x) = 6e3x−2 , график которой проходит через точку A (1; 5e).

2.4.Решите уравнение log2 4x log2 4x = 5.

2.5.Чему равна разность арифметической прогрессии, первый член которой равен –8, а сумма первых десяти членов равна 190?

2.6.Найдите промежутки возрастания функции f (x) = 3xx+−32 .

2.7.Одна из диагоналей трапеции и ее основания равны соответственно 40 см, 18 см и 30 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

2.8.Высота конуса равна 10 см, а угол между образующей конуса и плоскостью основания — 45°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами y = x2 и

y= 2x − x2 .

3.1.Решите уравнение 2x +14 − 3x +1 = 2 .

3.3.Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с плоскостью основания угол α, а с плоскостью боковой грани — угол β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

139