ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 90
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Упростите выражение 9−b b − b0,53+3 + b0,5b0,5−3 .
2.2. Решите систему уравнений x3+ y =3 2,
x + y = 26.
2.3.Упростите выражение 11−−ctgtgββ .
2.4.Сколько целых решений имеет неравенство:
log0,7 (x + 4) > log0,7 (19 − 4x) ?
2.5. Решите уравнение |
x − |
6 |
= 5 . |
|
x |
||||
|
|
|
2.6. Какой номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии
3,4; 3; 2,6; ... ?
2.7. Высота AF делит сторону BC треугольника ABC на отрезки BF и CF.
Найдите сторону AC, если CF = 
13 см, ABC=60°, а сторона AB равна 18 см.
2.8.Основание прямой призмы — треугольник со стороной a, противолежащим этой стороне углом α и прилежащим углом β. Диагональ боковой грани, содержащей сторону основания, к которой прилежат углы α и β, наклонена к плоскости основания под углом γ. Найдите высоту призмы.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Решите уравнение 5 4x − 7 10x + 2 25x = 0.
3.2.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-
ции f (x) = (2− x) x .
3.3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.
181
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Найдите область значений функции y = 3|sinxcosx | .
4.2.м Решите неравенство:
(sinx − cosx)
5x − 4 − x2 ≥ 0.
4.3.м При каких значениях параметра a уравнение
(x + a)log3(2x −5) = 0
имеет единственное решение?
4.4.м В прямоугольном треугольнике ABC ( C=90°) отрезок CD — высота. Биссектрисы прямых углов треугольников ACD и DCB соответственно равны l1 и l2. Найдите биссектрису треугольника ABC, проведенную из вершины его прямого угла.
182
Вариант 91
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Найдите сумму двенадцати первых натуральных чисел, кратных числу 6.
2.2. Решите уравнение 2 4− x2 = x +4 .
2.3.Найдите область определения функции y = 447x −−162x .
2.4.Решите уравнение:
sin2 x +2sin x cosx −3cos2 x = 0.
2.5. Найдите значение производной функции f (x) = |
ln x |
в точке x = e . |
|||
|
|||||
|
|
|
|
x2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2.6. Вычислите интеграл ∫π |
dx |
|
. |
|
|
2 |
x |
|
|||
|
cos |
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.7. Основание равнобедренного треугольника относится к его высоте, опущенной на основание, как 8 :3, боковая сторона треугольника равна
40 см. Вычислите периметр треугольника.
2.8.Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотену-
зой 8 см и углом 30°. Объем призмы равен 48
3 см3. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение:
|
log3(3x − 8) = 2 − x . |
|
|
3.2. |
x2 |
, если x ≤1, |
Пользуясь построен- |
Постройте график функции f (x) = |
|
||
|
x−2, если x >1. |
|
|
ным графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции.
3.3.Через сторону квадрата проведена плоскость, образующая с его диагональю угол 30°. Найдите угол между плоскостью квадрата и проведенной плоскостью.
183
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение
(x −a)(tg x + 3) = 0 |
− π;0)? |
имеет единственный корень на промежутке |
|
|
2 |
4.2.м Решите неравенство:
5x +8−6 5x −1 + 5x +24−10 5x −1 ≤ 2 .
4.3.м На параболе y = 4− x2 выбраны две точки с абсциссами x = −1 и
x = 3. Через эти точки проведена прямая. Найдите уравнение касательной к параболе, которая параллельна этой прямой.
4.4.м Точки H и O — соответственно ортоцентр и центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC. Известно, что точки B, H, O и C лежат на одной окружности. Найдите угол BAC.
184
Вариант 92
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Вычислите значение выражения 12log7 5
74 7 .
|
|
2 |
|
|
2.2. Сократите дробь |
b |
−16 |
. |
|
|
|
|||
|
b2 +b −12 |
|||
2.3. Решите неравенство |
1 |
≤ 1 . |
||
|
|
x |
3 |
|
2.4. Вычислите интеграл |
∫1 (x 2 −2x +4)dx . |
|||
|
|
−2 |
|
|
2.5. Решите уравнение:
4sin2 x −11cosx −1= 0.
2.6.При каком значении a наибольшее значение функции f (x) = −x 2 +2x +a равно 3?
2.7.Длины диагоналей ромба относятся как 
5 :2. Найдите площадь ромба, если его периметр равен 36 см.
2.8.Катет прямоугольного треугольника равен a, а прилежащий угол равен α. Найдите площадь боковой поверхности конуса, образовавшегося при вращении этого треугольника вокруг данного катета.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите неравенство:
log0,5(x −1) + log0,5(x − 2) ≥ −1.
3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = x2x−2 9 .
3.3. В равнобедренном треугольнику ABC известно, что AB = BC = 13 см, AC = 24 см. Прямая, параллельная основанию треугольника, пересекает стороны AB и BC в точках F и N соответственно и разбивает данный треугольник на две равновеликие части. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник FBN.
185
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение |
|||
( x −a)(x − 9x )= 0 |
|||
имеет единственное решение? |
|
|
|
4.2.м Решите систему уравнений: |
|
|
|
|
3 |
|
|
cosx cos y = |
|
, |
|
|
|
||
|
4 |
|
|
tgx tg y = −1. |
|
||
|
|
|
|
4.3.м Решите уравнение:
5x +12x = 13x .
4.4.м В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если AC=12 см, а средняя линия трапеции равна 10 см.
186
Вариант 93
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Чему равно значение выражения 2log |
6 |
3+ 1log |
6 |
64? |
|
|
|
3 |
|
||
2.2. При каком значении a график функции |
y = ax−5 проходит через точ- |
||||
ку B (12;192)? |
|
|
|
|
|
2.3. Решите уравнение:
9x+1 +9x = 270 .
2.4. Чему равна разность арифметической прогрессии, первый член которой равен –2,5, а сумма десяти первых членов равна 110?
2.5. Найдите корни уравнения:
1+ cos8x = cos4x .
2.6. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции f (x) = ln(5x +4) в точке с абсциссой x0 = 5?
2.7.Вычислите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а разность диагоналей — 10 см.
2.8.Из точки M к плоскости α проведены наклонные MN и MK, длины которых относятся как 25:26. Найдите расстояние от точки M до плоскости α, если длины проекций наклонных MN и MK на эту плоскость равны 7 см и 10 см.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение 4 (x −2)2 = 3x −4.
3.2. Постройте график функции f (x) = log2 sinx .
3.3.Через две образующие конуса, угол между которыми равен α, проведена
плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Найдите объем конуса, если его образующая равна а.
187
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Вычислите интеграл:
∫1 ln( x2 +1− x)dx .
−1
4.2.м Найдите корни уравнения:
sin2x + tg2x = − 56ctgx .
4.3.м При каких значениях параметра a функция
f (x) = x33 −(a +2) x22 −3(a +2)x −1
имеет отрицательную точку максимума?
4.4.м Через вершины A и C треугольника ABC проведена окружность, пересекающая стороны BA и BC в точках M и N соответственно. Прямая BF — касательная к окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что прямые MN и BF параллельны.
188
Вариант 94
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Найдите область значений функции y = π2
2.2. Решите систему уравнений x2+ y =2 6,
x − y =12.
2.3. Решите уравнение sin x cosx −cos2 x = 0.
2.4. Решите неравенство log1 |
(7x −28) > log1 |
|
2 |
|
2 |
2.5. Решите уравнение 3 x1+1+ 3 x2+3 =1.
−2arcctg x .
6x .
π
2.6. Вычислите интеграл ∫6 cos3x dx .
0
2.7.Прямая m является общей внешней касательной двух окружностей, радиусы которых равны 10 см и 2 см, точки A и B — точки касания прямой m с данными окружностями, AB = 15 см. Найдите расстояние между центрами окружностей.
2.8.Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 4см и образует
сплоскостью основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = x + 9x .
3.2. Докажите тождество:
1−cosα−sinα = 2 2sin α2 sin(α2 − π4).
3.3.Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами ее тупых углов
иточкой пересечения делятся в отношении 11:25. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 120 см.
189
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите неравенство:
27 22x −5 6x+1 +8 9x ≥ 0 .
4.2.м Определите количество корней уравнения
(cosx − 12)(sin x −a)= 0
на промежутке (0; 2π] в зависимости от значения параметра a.
4.3.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству logy (9− x2) ≥ 2.
4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ BD является биссектрисой угла ABC. Известно, что AB=9 см, BC=14 см, CD=12 см, DA=13 см. Найдите угол BCD.
190