ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 50
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Чему равно значение выражения 8−56 321,2 4−34 ?
2.2.Упростите выражение 1+sincosαα +1+sincosαα .
2.3.Решите неравенство 9x −9x−1 ≥ 24.
2.4. Решите уравнение x + 4 x =12 . |
|
|
|
|
|
2.5. Найдите значение производной функции f (x) = |
3x −2 |
в точке x0 = 2. |
|||
x −1 |
|||||
|
|
|
|
||
2.6. Найдите область определения функции f (x) = 4 20+ x − x2 + |
4 |
. |
|||
x −2 |
|||||
|
|
|
|
||
2.7.Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведенная к нему, — 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.
2.8.Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая его основание по хорде, длина которой равна a. Эта хорда стягивает дугу, градусная мера которой равна 90°. Угол между образующими в сечении равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Докажите тождество cos2 α+cos2 β−cos(α+β)cos(α−β) =1.
3.2.Решите уравнение:
lg(lgx) + lg(lgx4 − 3) = 0 .
3.3. Основания трапеции равны 2 см и 6 см, а боковые стороны — 13 см и 15 см. Найдите площадь трапеции.
101
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите неравенство:
− x2 + 7x −10 log2(x − 3) ≤ 0.
4.2.м При каких значениях параметра a промежуток [0; a] содержит не менее трех корней уравнения 2cos2 x + cosx = 0 ?
4.3.м Решите систему уравнений:
|
|
x |
−3 |
y |
= y − x, |
||
3 |
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
+ xy |
+ y |
=12. |
||||
x |
|
|
|||||
4.4.м В треугольнике ABC центры описанной и вписанной окружностей симметричны относительно прямой AB. Найдите углы треугольника ABC.
102
Вариант 51
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Вычислите значение выражения:
|
|
|
2 |
|
5−2 6 + |
5+2 6 |
|
|
. |
2.2.Решите неравенство 5x+1 +2 5x−1 ≥ 27.
2.3.Решите уравнение:
log32 x −8log3 4 x = 8.
2.4. Найдите промежутки возрастания функции f (x) = −1 x3 |
+ x2 |
+3x +8. |
3 |
|
|
2.5.Найдите первообразную функции f (x) = 12 cos 2x −5sin5x , график которой проходит через точку B(π;0) .
2.6.Телевизор и мобильный телефон стоили вместе 1800 грн. После того как телевизор подорожал на 10 %, а телефон подешевел на 10 %, они стали стоить вместе 1840 грн. Найдите первоначальную цену телевизора.
2.7.В треугольнике ABC известно, что AB : AC = 3
2 :7, BAC = 45°. Найдите сторону AC, если BC = 30 см.
2.8.Длина линии пересечения сферы и плоскости, удаленной от ее центра на 12 см, равна 10π см. Найдите площадь сферы.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Постройте график функции f (x) = |
|
x3 |
6 |
+ 3. |
|
|
x6 |
3.2. Решите уравнение:
sin2 2x + sin2 3x + sin2 4x + sin2 5x = 2 .
3.3.Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом β при основании. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны α. Найдите объем пирамиды.
103
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a система уравнений
|
|
x |
|
+ y − 4 = 0, |
|||||
|
|
||||||||
|
|
(y |
|
− a)2 + x2 |
= 9 |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
имеет одно решение? |
|
|
|
|
|
|
|
||
4.2.м Решите неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
||
log2 |
3x +log |
3 |
x2 |
|
≥ 4. |
||||
9 |
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
4.3.м Найдите общие точки |
графиков |
|
функций f (x) = x3 +2x +1 и |
||||||
g(x) = (x +1)2 , в которых эти графики имеют общие касательные.
4.4.м В треугольнике ABC медиана BM делит отрезок AK (точка K принадлежит стороне BC) в отношении 3 :1, считая от вершины A. В каком отношении точка K делит сторону BC?
104
Вариант 52
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Решите систему уравнений:
x2 − y2 = 27,
x + y = 9.
2.2. Чему равен sinα , если cosα = 0,8 и 3π < α < 2π? |
||
|
2 |
|
2.3. Вычислите значение выражения |
log8 128− log8 2 |
|
|
3log6 2 + log6 27 |
|
2.4. Решите уравнение:
22x+1 −5 2x + 2 = 0.
2.5. Чему равно наибольшее значение функции f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 3 на промежутке [0; 2]?
2.6.Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые меньше 160 и делятся нацело на 3.
2.7.Диагонали трапеции ABCD (AD||BC) пересекаются в точке O. Найдите отрезок AO, если AD:BC=3:2, CO=8 см.
2.8.В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если расстояние от центра основания до проведенной хорды равно d.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = 6− x2 и прямой y = 5.
3.2.Решите уравнение:
x + 3 + 
5x −1 = 4 .
3.3.Две стороны треугольника равны 15 см и 25 см, а медиана, проведенная
ктретьей стороне, — 16 см. Найдите третью сторону треугольника.
105
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a число π является периодом функции
f (x) = |
cosx |
? |
|
|
|
a +sin x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4.2.м Найдите все |
пары действительных чисел |
(x; y), удовлетворяющие |
|||
уравнению: |
|
|
|
|
|
|
|
log2(x2 − 2x + 3)log3(y 2 + 4y + 7) =1. |
|||
4.3.м Решите систему уравнений: |
|
|
|
||
|
|
x2 |
−10y = −49, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 + 6z = 7, |
|
||
|
|
|
2 |
− 2x = 7. |
|
|
|
z |
|
|
|
4.4.м В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 |
пересекаются в точке O, |
||||
ABC=60°. Докажите, что C1OB= C1A1B. |
|
||||
106
Вариант 53
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Упростите выражение (1+ctgβ)2 +(1−ctgβ)2 .
2.2.Решите неравенство:
(x +8)(x −3) ≤ 0 .
x−9
|
|
|
y − 25 |
|
1 |
+3 |
|
||
2.3. Упростите выражение |
|
|
y 2 |
. |
|||||
|
1 |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3y |
2 |
+9 |
|
y 2 |
−5 |
|
|
2.4. Решите уравнение: |
log4(x +3)+log4(x +15) = 3. |
||||||||
|
|||||||||
2.5. Вычислите интеграл |
1 |
|
|
|
4 |
|
−2 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx . |
|||
|
|
|
8x +1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Решите неравенство:
9x −12 3x + 27 ≤ 0.
2.7.Большее основание трапеции равно 20 см, а расстояние между серединами ее диагоналей — 6 см. Найдите длину меньшего основания трапеции.
2.8.Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а диагональное сечение является прямоугольным треугольником.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Постройте график функции f (x) = sinx + 
sin2 x .
3.2.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = e−x2 .
3.3.В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основа-
ния равна 8
2 см, а боковое ребро — 3 см. Через диагональ BD нижнего
основания и середину стороны B1C1 верхнего проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.
107
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение
sin2 x |
|
2 |
|
2 |
|
|
− a + |
sin x + |
|
a = 0 |
|||
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|||
имеет на промежутке 0;5π) |
три корня? |
|
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
4.2.м Решите уравнение:
3x = 4x +1.
4.3.м Решите систему уравнений:
x + y + z = 6, |
|
|||||||
1 |
|
1 |
|
1 |
|
3 |
, |
|
|
+ |
|
+ |
|
= |
|||
y |
z |
|||||||
x |
|
|
|
2 |
|
|||
xyz = 8. |
|
|
|
|
||||
4.4.м Два параллелограмма ABCD и |
A1B1C1D1 расположены так, что точ- |
|||||||
ка B — середина отрезка AB1, точка |
С |
— середина отрезка BC1, точ- |
||||||
ка D — середина отрезка CD1, точка |
A — середина отрезка DA1. |
|||||||
Найдите площадь параллелограмма A1B1C1D1, если площадь параллелограмма ABCD равна S.
108
Вариант 54
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Решите уравнение |
64x − 7 8x − 8 = 0 . |
|
|
|
|
||||||||
2.2. Чему равно значение выражения 33log3 2 − 2 |
1 |
log216 ? |
|
||||||||||
2 |
|
||||||||||||
|
|
5 |
1 |
|
|
2 |
|
9 |
|
|
|
|
|
2.3. Упростите выражение b−6b3 |
|
b7 |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
b18 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||
2.4. Решите уравнение |
9−8x = −x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.5. Упростите выражение cos3α−cosα−sin2α . |
|
|
|||||||||||
|
sin3α−sinα+cos2α |
|
|
|
|
||||||||
2.6. Найдите первообразную функции |
f (x) = |
14 |
+ 3x2 |
, график которой |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x + 2 |
|
|
|
проходит через точку C (2; 0).
2.7.В треугольнике ABC сторона АC разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне AB треугольника. Меньший из отрезков этих прямых, находящихся между сторонами треугольника, меньше стороны AB на 8 см. Найдите сторону AB треугольника.
2.8.Основание прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник
с основанием a и углом α при вершине. Диагональ боковой грани призмы, содержащая основание равнобедренного треугольника, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение 
3cosx + sinx = 2cos3x .
3.2. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x2 − x + 3, которая параллельна прямой x + y + 3= 0.
3.3.Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на ее большем основании. Найдите радиус этой окружности, если боковая сторона трапеции равна 2 см, а высота трапеции — 1,6 см.
109
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Сколько решений имеет уравнение
(log3(x − 2) − 2)
x − a = 0
взависимости от значения параметра a?
4.2.м Решите неравенство:
(x −1)
x2 +1 ≤ x2 −1.
4.3.м Постройте график функции:
1 |
|
|
y = |
|
|
cos2(arctgx) |
||
4.4.м Диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что эта диагональ делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон четырехугольника.
110