ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 10 |
|
|
|||||
Часть вторая |
|
|
|||||
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов. |
|||||||
2.1. Найдите значение выражения |
1 |
|
|
+ |
1 |
|
. |
6−2 |
6 |
|
6+2 6 |
||||
|
|
|
|
||||
2.2. Упростите выражение cos7α+cosα . |
|
|
|
|
|||
sin7α−sinα |
|
|
|
|
|
|
|
2.3. Решите уравнение 36x −4 6x −12 = 0. |
|
|
|
|
|||
|
|
1 lg25−3lg2 |
. |
|
|||
2.4. Вычислите значение выражения 1002 |
|
|
|
||||
2.5.Найдите первообразную функции f (x) = cos62 6x , график которой проходит через точку A (18π ; 3 3).
2.6.Первый тракторист может вспахать поле на 3 ч быстрее, чем второй. Если первый тракторист проработает 4 ч, а затем его сменит второй, то последний закончит вспашку этого поля за 3 ч. За сколько часов может вспахать все поле первый тракторист?
2.7.Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются
в точке K. Меньшее основание BC трапеции равно 4 см, BK=5 см, AB=15 см. Найдите большее основание трапеции.
2.8.В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая находится на расстоянии d от центра верхнего основания и которая видна из этого центра под углом ϕ. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью
нижнего основания угол β. Найдите объем цилиндра.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-
ции f (x) = xx2 +−62x .
3.2. Решите неравенство log1 log2 2x−−1x > −1.
3
3.3.Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины его меньшего острого угла.
21
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты
которых (x; y) удовлетворяют уравнению |
|
2x2 + 2y2 − 2xy −1 = y − x . |
|||||
4.2.м При каких |
значениях параметра a функция y = f (x + a) является |
||||||
четной, если |
f (x) = 2x + |
4 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2x |
|
|
|
||
4.3.м Решите систему уравнений: |
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
sin x sin y = |
|
|
, |
||
|
|
|
4 |
||||
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
cosx cos y = |
. |
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
||
4.4.м Точки M и N — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD ( AD≠BC). Известно, что MN = 12(BC + AD). Докажите, что данный четырехугольник — трапеция.
22
Вариант 11
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Упростите выражение |
m − 4 mn : |
m −24 mn + n . |
|
m |
4 mn |
2.2. Решите уравнение 27 9x2 = (13)3x−2 .
2.3. Упростите выражение:
cos(π2 +α)cos(π−α)+sin(32π +α)sin(π+α) .
2.4.Вычислите значение выражения (log212−log2 3+9log9 8)lg3 .
2.5.Дана функция f (x) = e−2x cosx . Найдите f '(0) .
2.6.Катер прошел 48 км по течению реки и вернулся назад, затратив на путь против течения на 3 ч больше, чем на путь по течению реки. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч.
2.7.Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 25 см и 17 см. Найдите длины проекций этих наклонных на данную прямую, если они относятся как 5:2.
2.8.Диагональ грани куба равна a. Чему равна диагональ куба?
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = xx2++25 .
3.2. Постройте график функции f (x) = log2(x − 2) logx−2 2.
3.3.Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого равна a и образует с диагональю прямоугольника угол α. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β. Найдите боковую поверхность конуса, описанного около данной пирамиды.
23
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a уравнение
arcsin2 x + (3a − 3)arcsinx + (a − 2)(5− 4a) = 0
имеет решения?
4.2.м В зависимости от значения параметра a найдите точку минимума функции:
f (x) = x33 − a2+1x2 +ax −7.
4.3.м Решите неравенство:
x3x+8 > x −2.
4.4.м Точки M, N, P принадлежат сторонам AB, BC, CA треугольника ABC соответственно. Известно, что AM:AB=BN:BC=CP:CA=1:3. Площадь треугольника MNP равна S. Найдите площадь треугольника ABC.
24
Вариант 12
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
5 |
1 |
|
|
2.1. Чему равно значение выражения |
a6 |
+a6 |
при a = 27 ? |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
a6 |
|
2.2. Решите уравнение:
sin2 x + 3sin x cosx = 0.
2.3. Решите систему уравнений:
xy + x = 56,
x − y = 2.
2.4.Вычислите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (an) , если a10 = 32, а разность прогрессии d = 4.
|
|
3x−2 |
7 |
|
||||
2.5. Решите неравенство (tg |
π |
)x−5 |
≤ (tg |
π |
) |
|
. |
|
x−5 |
||||||||
12 |
12 |
|||||||
2.6. Найдите промежутки возрастания функции f (x) = 2x4 −2x3 − x2 +2.
2.7.Площадь ромба равна 120 см2, а его диагонали относятся как 5:12. Найдите периметр ромба.
2.8.Хорда нижнего основания цилиндра видна из центра этого основания под углом α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, наклонен к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если образующая цилиндра равна l.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите неравенство log3(2x −1)+log3(x −9) < 2.
3.2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 −4x +5
и прямой y = 5− x .
3.3.Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите расстояние от вершины меньшего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.
25
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Упростите выражение:
a + 2
a + 4 +5 + 
a − 2
a + 4 +5.
4.2.м Постройте график функции y = cos (2arcsinx) .
4.3.м Решите систему уравнений:
2x2 −3xy +2y2 =14,
x2 + xy − y2 = 5.
4.4.м В треугольник ABC вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Периметр треугольника KBL равен 2 q. Найдите сторону AC, если периметр треугольника ABC равен 2p.
26
Вариант 13
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Чему равно значение выражения (50,6)−0,6 (0,2)−2,36 ?
2.2.Решите неравенство:
3x+2 −3x ≤ 24 .
2.3.Найдите значение cosα , если tgα = −3 и 32π < α < 2π .
2.4.Решите уравнение:
|
4log |
2 |
3 x +log |
1 = −1. |
|
|
|
2 x |
|
2.5. Геометрическая прогрессия |
(bn) |
задана формулой общего члена |
||
b = 7 2n−1 |
. Найдите сумму шести первых членов прогрессии. |
|||
n |
|
|
|
|
2.6.Смешав 3-процентный и 8-процентный растворы соли, получили 260 г 5-процентного раствора. Сколько взяли граммов 3-процентного раствора?
2.7.Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке M. Найдите отрезок AM, если AB=6 см и BC:AD=3:4.
2.8.В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания
под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания равен R.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 − 6x + 9
ипрямой y = 5− x .
3.2.Упростите выражение:
( a +2)2 −8 a + ( a −2)2 +8 a .
3.3.Основание пирамиды — квадрат со стороной 12 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 5 см.
27
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Сколько критических точек на промежутке [−a; a] имеет функция
f (x) = x33 − x22 −2x
в зависимости от значения параметра a (a > 0) ?
4.2.м Докажите тождество:
arctg x = arcsin |
x |
. |
|
1+ x2 |
|||
|
|
4.3.м Решите систему уравнений:
|
|
|
|
|
x − y |
|
20 |
|
x |
− y + |
|
|
= |
|
, |
||
|
x + y |
x + y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
+ y |
2 |
= 34. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
4.4.м В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1. Известно, чтоAA1C= CC1A. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
28
Вариант 14
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Вычислите значение выражения 810,25 −90,5 −(0,2)−2 .
2.2. Найдите корень уравнения 9x+1 −9x = 24.
2.3. Упростите выражение 2sinαcosβ−sin(α+β) . cos(α+β)+2sinαsinβ
2.4. Решите неравенство:
log6(x +1)+log6(2x +1) ≤1. |
|
|
|
|
|
|
|||
2.5. Найдите первообразную функции f (x) = |
1 |
|
+cos |
x |
, график которой |
||||
3x +1 |
|
||||||||
проходит через начало координат. |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.6. Найдите область определения функции y = 4 |
x2 |
−2x |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4x |
−1 |
|
|
|||
2.7. В четырехугольнике |
ABDC, изобра- |
|
|
|
|
|
B |
|
|
женном на рисунке, |
AB = BD = a , |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = D =15°. Найдите периметр четы- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рехугольника ABDC, если ACD = 90°. |
|
|
|
a |
C |
a |
|||
|
|
|
|
|
|||||
2.8. Угол при вершине осевого сечения ко- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нуса равен α, а расстояние от центра ос- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нования до образующей конуса равно a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите площадь боковой поверхности |
A |
|
|
|
|
|
D |
||
конуса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = x2x +−79x .
3.2.Постройте график функции f (x) = tgx cosx .
3.3.Найдите радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, основания которой равны 11 см и 21 см, а боковая сторона — 13 см.
29
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Для каждого значения параметра a решите неравенство:
(x − a) 3 2x − 2 3x ≥ 0. |
|
||
4.2.м Докажите, что функция |
f (x) = cosx + cos(x 2) |
не является |
|
периодической. |
|
|
|
π |
|
|
|
4.3.м Вычислите интеграл ∫2 |
x2 sin xdx . |
|
|
−π2
4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Найдите площадь четырехугольника.
30