ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 70
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Найдите значение выражения |
625−2,25 25 |
− 2 |
25 |
3 |
125 9 . |
2.2.Чему равна сумма целых решений неравенства 16 < 63−x ≤ 36?
2.3.Решите уравнение:
log0,22 x +0,5log0,2 x2 = 2.
2.4. Чему равно значение ctgα , если sinα = 13 и π2 < α < π?
2.5. Найдите область определения функции f (x) = |
8−2x − x2 |
. |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x +3 |
|
|
1 |
|
14 |
|
|
|
|
2.6. Вычислите интеграл |
∫ |
|
|
−2 |
dx . |
|
|
7x +9 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2.7.В прямоугольной трапеции ABCD ( BC||AD, A=90°) известно, что AB=4 см, BC =7 см, AD =10 см. Найдите синус угла D трапеции.
2.8.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 см,
авысота пирамиды — 2
2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = x2x2−1.
3.2.Найдите наименьшее значение выражения 15sinα +8cosα .
3.3.Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 2:7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 108 см.
141
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение:
cosx (8sinx +5− 2cos2x) = 0 .
4.2.м Решите неравенство:
x2 −1 + 
3x − 2 ≥1.
4.3.м При каких значениях параметра a уравнение
36x − (a +5) 6x + 6a − 6 = 0
имеет единственное решение?
4.4.м На стороне AC треугольника ABC отметили точку M так, что AB+MC=AM+BC. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABM и MBC, касаются.
142
Вариант 71
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Решите систему уравнений x2 − y2 = −12,
x − y = 2.
2.2. Решите уравнение:
log32 x − 12log3 x2 = 2 .
2.3.Укажите наименьшее целое решение неравенства 6xx −+5x2 ≤ 0.
2.4.Вычислите интеграл ∫0 (2x +1)4dx .
−1
2.5.Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn ), если b1 =12 , b4 = 96.
2.6.Упростите выражение (sin2α+sin6α)(cos2α−cos6α) 1−cos8α
2.7.В треугольник ABC вписан ромб CMKD так, что угол C у них общий,
а вершина K принадлежит стороне AB. |
Найдите сторону |
BC, |
если |
AC=12 см, а сторона ромба равна 4 см. |
|
|
|
2.8. Дан куб ABCDA1B1C1D1. На диагонали AD1 его грани отметили точку E |
|||
так, что AE : ED1 = 2 : 7. Выразите вектор |
JJJG |
JJG |
JJJG |
BE через векторы |
BA , |
BC |
|
JJJG |
|
|
|
и BB1 . |
|
|
|
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите абсциссу точки, в |
которой касательная к графику функции |
f (x) = x3 − x2 − 2x + 7 наклонена до оси абсцисс под углом α = 3π . |
|
|
4 |
3.2. Постройте график функции |
f (x) = 6 (x + 3)6 + 2x . |
3.3.Основание пирамиды — ромб с углом α. Все двугранные углы при
ребрах основания пирамиды равны ϕ. Найдите объем пирамиды, если ее
высота равна H.
143
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Найдите первообразную функции f (x) = sin3x cos2x , график которой проходит через точку K (0; − 53 ).
4.2.м Решите уравнение:
log2(2x2 −3x +3) = log2x 2+log2x x .
4.3.м При каких значениях параметра a неравенство x2 −(4a +1)x +(a + 2)(3a −1) > 0
выполняется при всех отрицательных значениях x?
4.4.м Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 13 одной из его
высот. Докажите, что длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию.
144
Вариант 72
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Укажите область определения функции f (x) = 6 3x + 9 .
2.2. Решите уравнение:
3x + 32−x = 10.
2.3. Решите неравенство:
|
log0,3(2 − 3x) > log0,3(5x −1) . |
||||
2.4. |
Найдите производную функции f (x) = |
x2 |
− 2 |
|
|
x2 |
−7 |
||||
|
|
|
|||
2.5. Укажите область значений функции y = −x2 −2x +3.
2.6. Расстояние между пунктами A и B составляет 40 км. Автобус проехал из A в B и вернулся назад. Возвращался он со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной и потратил на обратный путь на 20 мин больше, чем на путь из A в B. Найдите первоначальную скорость автобуса.
2.7.Высота AM треугольника ABC делит его сторону BC на отрезки BM и MC. Найдите отрезок MC, если AB =10
2 см, AC=26 см, B=45°.
2.8.В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной 8 см, находящаяся на расстоянии 3 см от центра этого основания. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если его высота равна 6 см.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение:
sin2x − cosx = 2sinx −1.
3.2.Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 3x и прямыми y = 3 и x = 3.
3.3.Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 15 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около нее, равен 12,5 см.
145
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Найдите все значение параметра a, при которых уравнение logx(ax −9) = 2
имеет единственное решение.
4.2.м Докажите, что arctg 23 +arctg15 = π4
4.3.м Решите неравенство:
5x +12x ≤ 13x .
4.4.м Касательная в точке A к окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает прямую BC в точке D, отрезок AE — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AD =DE.
146
Вариант 73
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Чему равно значение выражения |
|
1 |
+(91) |
−0,5 |
1 |
? |
36 |
2 |
|
−10003 |
2.2.Вычислите значение выражения 251+log5 2 .
2.3.Решите неравенство 3x −4 3x−2 >15.
2.4.Решите уравнение:
x2 +8x +7 = x +1.
2.5. Найдите первообразную функции |
f (x) = 3e3x +sin2x , график которой |
проходит через точку B(0;3) . |
|
2.6. Найдите корни уравнения: |
|
3sin2 x −sin2x − |
3cos2 x = 0 . |
2.7.Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной 6 см и 2 см, считая от вершины тупого угла. Вычислите площадь параллелограмма, если его острый угол равен 30°.
2.8.Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 16 см и 30 см. Бóльшая диагональ призмы равна 50 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Докажите тождество:
(sinα−sinβ)2 +(cosα−cosβ)2 = 4sin2 α2−β .
3.2.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-
ции f (x) = lnx2x .
3.3.Через катет прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.
147
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение:
2log27 3x +log27(x2 −4x +4) = 23 .
4.2.м Решите неравенство:
(3x−2 −1) x2 −2x −8 ≥ 0.
4.3.м При каких значениях параметра a система
{(a +3)x +4y = 3a −5, ax +(a −1)y = 2
не имеет решений?
4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена секущая, пересекающая окружности в точках C и D. Докажите, что величина угла CAD является постоянной для любой секущей, проходящей через точку B. (Рассмотрите случаи расположения точек C и D в одной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)
148
Вариант 74
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Упростите выражение cos2α −sin2αctgα .
2.2.Чему равна сумма целых решений неравенства 3xx−−28 ≤ 2?
2.3. Решите неравенство log1 |
(1−2x) ≥ −2 . |
5 |
|
2.4. Решите уравнение: |
|
|
19−2x = x −2 . |
2.5. Найдите промежутки убывания функции f (x) = x3 −48x .
x
2.6. Найдите первообразную функции f (x) = 8x3 −e2 , график которой проходит через точку B (1; −2 e).
2.7.В равнобокой трапеции ABCD основания AD и BC соответственно равны 18 см и 12 см. Боковая сторона трапеции образует с ее основанием угол 30°. Найдите диагональ трапеции.
2.8.Основанием пирамиды является прямоугольник с диагональю d. Угол между стороной и диагональю прямоугольника равен α. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом β.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Докажите тождество:
|
4 |
b +4 |
+ |
4 |
b −4 |
|
: 4 b +64 |
= − 1 . |
|
|
|
|
|
||||||
4 b −4 |
4 b + 4 |
||||||||
|
|
|
16− b |
2 |
|||||
3.2. Постройте график функции |
|
f (x) = log1 logx+1(x +1)9 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3.3.В треугольнике ABC известно, что AB=BC, отрезки BD и CK — высоты треугольника, cosA= 73 . Найдите отношение CK:BD.
149
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Определите количество корней |
уравнения cosx = a на промежут- |
|||
ке 0; |
5π) в зависимости от значения параметра a. |
|||
|
4 |
|
|
|
4.2.м Решите неравенство: |
3 |
|
|
|
|
x2 −8x − |
|
+18≤ 0. |
|
|
x − 4 |
|||
|
|
|
||
4.3.м Решите уравнение 6 x =5x +1 .
4.4.м Внутри угла AOB отметили точку M, проекциями которой на прямые OA и OB являются точки M1 и M2. Докажите, что M1M2 ≤ OM .
150