Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ДПА-11-2014-2

.pdf
Скачиваний:
79
Добавлен:
18.03.2015
Размер:
3.76 Mб
Скачать

Вариант 70

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите значение выражения

6252,25 25

2

25

3

125 9 .

2.2.Чему равна сумма целых решений неравенства 16 < 63x 36?

2.3.Решите уравнение:

log0,22 x +0,5log0,2 x2 = 2.

2.4. Чему равно значение ctgα , если sinα = 13 и π2 < α < π?

2.5. Найдите область определения функции f (x) =

82x x2

.

 

 

 

 

 

 

 

x +3

 

1

 

14

 

 

 

 

2.6. Вычислите интеграл

 

 

2

dx .

 

 

7x +9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

2.7.В прямоугольной трапеции ABCD ( BC||AD, A=90°) известно, что AB=4 см, BC =7 см, AD =10 см. Найдите синус угла D трапеции.

2.8.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 см,

авысота пирамиды — 2 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = x2x21.

3.2.Найдите наименьшее значение выражения 15sinα +8cosα .

3.3.Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 2:7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 108 см.

141

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение:

cosx (8sinx +52cos2x) = 0 .

4.2.м Решите неравенство:

x2 1 + 3x 2 1.

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение

36x (a +5) 6x + 6a 6 = 0

имеет единственное решение?

4.4.м На стороне AC треугольника ABC отметили точку M так, что AB+MC=AM+BC. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABM и MBC, касаются.

142

Вариант 71

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите систему уравнений x2 y2 = −12,

x y = 2.

2.2. Решите уравнение:

log32 x 12log3 x2 = 2 .

2.3.Укажите наименьшее целое решение неравенства 6xx +5x2 0.

2.4.Вычислите интеграл 0 (2x +1)4dx .

1

2.5.Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn ), если b1 =12 , b4 = 96.

2.6.Упростите выражение (sin2α+sin6α)(cos2α−cos6α) 1cos8α

2.7.В треугольник ABC вписан ромб CMKD так, что угол C у них общий,

а вершина K принадлежит стороне AB.

Найдите сторону

BC,

если

AC=12 см, а сторона ромба равна 4 см.

 

 

 

2.8. Дан куб ABCDA1B1C1D1. На диагонали AD1 его грани отметили точку E

так, что AE : ED1 = 2 : 7. Выразите вектор

JJJG

JJG

JJJG

BE через векторы

BA ,

BC

JJJG

 

 

 

и BB1 .

 

 

 

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите абсциссу точки, в

которой касательная к графику функции

f (x) = x3 x2 2x + 7 наклонена до оси абсцисс под углом α = 3π .

 

4

3.2. Постройте график функции

f (x) = 6 (x + 3)6 + 2x .

3.3.Основание пирамиды — ромб с углом α. Все двугранные углы при

ребрах основания пирамиды равны ϕ. Найдите объем пирамиды, если ее

высота равна H.

143

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите первообразную функции f (x) = sin3x cos2x , график которой проходит через точку K (0; 53 ).

4.2.м Решите уравнение:

log2(2x2 3x +3) = log2x 2+log2x x .

4.3.м При каких значениях параметра a неравенство x2 (4a +1)x +(a + 2)(3a 1) > 0

выполняется при всех отрицательных значениях x?

4.4.м Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 13 одной из его

высот. Докажите, что длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию.

144

Вариант 72

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Укажите область определения функции f (x) = 6 3x + 9 .

2.2. Решите уравнение:

3x + 32x = 10.

2.3. Решите неравенство:

 

log0,3(2 3x) > log0,3(5x 1) .

2.4.

Найдите производную функции f (x) =

x2

2

 

x2

7

 

 

 

2.5. Укажите область значений функции y = −x2 2x +3.

2.6. Расстояние между пунктами A и B составляет 40 км. Автобус проехал из A в B и вернулся назад. Возвращался он со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной и потратил на обратный путь на 20 мин больше, чем на путь из A в B. Найдите первоначальную скорость автобуса.

2.7.Высота AM треугольника ABC делит его сторону BC на отрезки BM и MC. Найдите отрезок MC, если AB =10 2 см, AC=26 см, B=45°.

2.8.В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной 8 см, находящаяся на расстоянии 3 см от центра этого основания. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если его высота равна 6 см.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение:

sin2x cosx = 2sinx 1.

3.2.Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 3x и прямыми y = 3 и x = 3.

3.3.Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 15 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около нее, равен 12,5 см.

145

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите все значение параметра a, при которых уравнение logx(ax 9) = 2

имеет единственное решение.

4.2.м Докажите, что arctg 23 +arctg15 = π4

4.3.м Решите неравенство:

5x +12x 13x .

4.4.м Касательная в точке A к окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает прямую BC в точке D, отрезок AE — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AD =DE.

146

Вариант 73

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения

 

1

+(91)

0,5

1

?

36

2

 

10003

2.2.Вычислите значение выражения 251+log5 2 .

2.3.Решите неравенство 3x 4 3x2 >15.

2.4.Решите уравнение:

x2 +8x +7 = x +1.

2.5. Найдите первообразную функции

f (x) = 3e3x +sin2x , график которой

проходит через точку B(0;3) .

 

2.6. Найдите корни уравнения:

 

3sin2 x sin2x

3cos2 x = 0 .

2.7.Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной 6 см и 2 см, считая от вершины тупого угла. Вычислите площадь параллелограмма, если его острый угол равен 30°.

2.8.Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 16 см и 30 см. Бóльшая диагональ призмы равна 50 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество:

(sinα−sinβ)2 +(cosα−cosβ)2 = 4sin2 α2−β .

3.2.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-

ции f (x) = lnx2x .

3.3.Через катет прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.

147

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение:

2log27 3x +log27(x2 4x +4) = 23 .

4.2.м Решите неравенство:

(3x2 1) x2 2x 8 0.

4.3.м При каких значениях параметра a система

{(a +3)x +4y = 3a 5, ax +(a 1)y = 2

не имеет решений?

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена секущая, пересекающая окружности в точках C и D. Докажите, что величина угла CAD является постоянной для любой секущей, проходящей через точку B. (Рассмотрите случаи расположения точек C и D в одной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)

148

Вариант 74

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1.Упростите выражение cos2α −sin2αctgα .

2.2.Чему равна сумма целых решений неравенства 3xx28 2?

2.3. Решите неравенство log1

(12x) ≥ −2 .

5

 

2.4. Решите уравнение:

 

 

192x = x 2 .

2.5. Найдите промежутки убывания функции f (x) = x3 48x .

x

2.6. Найдите первообразную функции f (x) = 8x3 e2 , график которой проходит через точку B (1; 2 e).

2.7.В равнобокой трапеции ABCD основания AD и BC соответственно равны 18 см и 12 см. Боковая сторона трапеции образует с ее основанием угол 30°. Найдите диагональ трапеции.

2.8.Основанием пирамиды является прямоугольник с диагональю d. Угол между стороной и диагональю прямоугольника равен α. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом β.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество:

 

4

b +4

+

4

b 4

 

: 4 b +64

= − 1 .

 

 

 

 

4 b 4

4 b + 4

 

 

 

16b

2

3.2. Постройте график функции

 

f (x) = log1 logx+1(x +1)9 .

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3.3.В треугольнике ABC известно, что AB=BC, отрезки BD и CK — высоты треугольника, cosA= 73 . Найдите отношение CK:BD.

149

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Определите количество корней

уравнения cosx = a на промежут-

ке 0;

5π) в зависимости от значения параметра a.

 

4

 

 

 

4.2.м Решите неравенство:

3

 

 

 

x2 8x

 

+180.

 

x 4

 

 

 

4.3.м Решите уравнение 6 x =5x +1 .

4.4.м Внутри угла AOB отметили точку M, проекциями которой на прямые OA и OB являются точки M1 и M2. Докажите, что M1M2 OM .

150

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.