Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ДПА-11-2014-2

.pdf
Скачиваний:
79
Добавлен:
18.03.2015
Размер:
3.76 Mб
Скачать

Вариант 20

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите значение выражения

160,75 8

5

5

12 48 .

2.2.Чему равна сумма целых решений неравенства 551x <125?

2.3.Решите уравнение:

 

log0,52 x 0,25log0,5 x4 = 2 .

2.4. Чему равно значение tgα , если cosα =

1

и 3π < α < 2π ?

5

 

 

 

 

 

 

2

 

2.5. Укажите область определения функции

f (x) =

 

54x x2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +2

 

1

 

15

 

 

 

 

 

 

2.6. Вычислите интеграл

 

 

x dx .

 

 

 

 

 

5x +4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2.7.В равнобокой трапеции ABCD известно, что AB=CD=6 см, BC=8 см, AD=12 см. Найдите тангенс угла A трапеции.

2.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см,

а высота пирамиды — 22 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = xx22 +11.

3.2.Найдите наибольшее значение выражения 12sinα −5cosα .

3.3.Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1:4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 см2.

41

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение:

sinx (4 5cosx 2sin2 x) = 0.

4.2.м Решите неравенство:

x2 1 + 2x 1 1.

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение

16x (a +1) 4x + 4a 12 = 0

имеет единственное решение?

4.4.м На стороне AC треугольника ABC отметили точку M. Окружности, вписанные в треугольники ABM и MBC, касаются. Докажите, что

AB+MC=AM+BC.

42

(sin8α−sin2α)(cos2α−cos8α) 1cos6α

Вариант 21

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите систему уравнений x2 y2 = 91,

x + y =13.

2.2.Решите уравнение log52 x +0,5log5 x2 = 6 .

2.3.Укажите наибольшее целое решение неравенства x42 +3xx 0.

2.4.Вычислите интеграл 1 (4x 3)3dx .

0

2.5. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), если b1 = 6 , b4 =162.

2.6. Упростите выражение

2.7. В треугольник ABC вписан ромб AMFK так, что угол A у них общий,

а вершина F принадлежит стороне BC. Найдите сторону ромба,

если

AB=10 см, AC=15 см.

 

 

 

2.8. Дан куб ABCDA1B1C1D1. На диагонали C1D его грани отметили точку M

так,

что DM : MC1 = 5 : 3. Выразите вектор

JJJG

JJG

AM

через векторы

AB ,

JJJJG

JJJG

 

 

 

AD

и AA1 .

 

 

 

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f (x) = x3 3x2 8x +9 наклонена к оси абсцисс под углом α = π4 .

3.2. Постройте график функции f (x) = 4 (x 2)4 2x .

3.3.Основание пирамиды — ромб со стороной a и углом α. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны β. Найдите объем пирамиды.

43

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите первообразную функции f (x) = cos2x cosx , график которой проходит через точку M (π2;121 ).

4.2.м Решите уравнение:

log3(3x2 4x +4) = log3x 3+log3x x .

4.3.м При каких значениях параметра a неравенство x2 (3a 4)x +(a 1)(2a 3) > 0

выполняется при всех положительных значениях x?

4.4.м Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус окружности, вписанной в данный треугольник,

равен 13 высоты, проведенной к средней по длине стороне треугольника.

44

Вариант 22

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1.Укажите область определения функции f (x) = 4 2x +16 .

2.2.Решите уравнение:

2x +22x = 5.

2.3. Решите неравенство:

log0,4(5x +1) < log0,4(32x).

2.4. Найдите производную функции

f (x) =

x2

6

 

x2

+4

 

 

 

2.5.Укажите область значений функции y = −x2 4x 10.

2.6.Из города A в город B выехал товарный поезд. Через 2 ч из города A выехал пассажирский поезд, который прибыл в город B одновременно с товарным. Найдите скорость товарного поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости пассажирского, а расстояние между городами A и B равно 350 км.

2.7.Высота NE треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и PE. Найдите сторону NF, если EP=8 см, NP=17 см, F=60°.

2.8.Высота цилиндра равна 8 см, радиус основания — 5 см. На расстоянии 4 см от оси цилиндра параллельно ей проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося при этом сечения цилиндра.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение sin2x +sin x = 2cosx +1.

 

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 4

и

x

 

прямыми y = 4 и x = 4.

 

3.3. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и равна 4 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около нее, равен 2,5 см.

45

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите все значения параметра a, при которых уравнение logx (ax 4) = 2

имеет единственное решение.

4.2.м Докажите, что arctg13+arctg 12 = π4

4.3.м Решите неравенство:

3x + 4x 5x .

4.4.м В треугольнике ABC ( C=90°) на катете AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке E. Через точку E проведена касательная к этой окружности, которая пересекает катет BC в точке D. Докажите, что DE =DB.

46

Вариант 23

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

3

1 2 (1)

2.1. Чему равно значение выражения 92 +273 4 2

2.2.Вычислите значение выражения 91log3 6 .

2.3.Решите неравенство 5x+1 3 5x2 <122 .

2.4. Решите уравнение x2 +4x 5 = x 1.

2.5.Найдите первообразную функции f (x) = 2ex + проходит через точку A (0;2).

2.6.Найдите корни уравнения:

?

cos3x , график которой

3sin2 x +sin2x 3cos2 x = 0 .

2.7.Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной 3 см и 5 см, считая от вершины острого угла. Вычислите площадь параллелограмма, если его острый угол равен 60°.

2.8.Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Меньшая диагональ призмы равна 26 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество:

(sinα+sinβ)2 +(cosα+cosβ)2 = 4cos2 α2−β .

3.2.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = lnxx .

3.3.Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 45°. Найдите углы, которые образуют катеты треугольника с этой плоскостью.

47

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение:

2log8 2x +log8(x2 6x +9) = 43 .

4.2.м Решите неравенство:

(2x1 1) x2 +2x 8 0 .

4.3.м При каких значениях параметра a система

{(a 1)x 2ay = 24a, ax +(a +2)y = 3

имеет бесконечно много решений?

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Проведены диаметры AD и AC этих окружностей. Докажите, что точки B, C и D лежат на одной прямой. (Рассмотрите случаи расположения центров окружностей в одной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)

48

Вариант 24

Часть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1.Упростите выражение cos2α+sin2αtgα .

2.2.Чему равна сумма целых решений неравенства 32xx ++24 1?

2.3.Решите неравенство log1(53x) ≥ −1.

4

2.4. Решите уравнение:

 

 

 

23x = x 3.

 

2.5. Найдите промежутки возрастания функции f (x) = x3 27x .

 

2.4. Найдите первообразную

 

функции f (x) = 6x2 +e4x , график

которой

 

 

1

e2

 

проходит через точку A

2

; 4 .

 

 

 

 

 

 

2.7. В равнобокой

трапеции

ABCD основание BC равно 6 см,

высота

трапеции равна

2 3 см,

а боковая сторона образует с основанием AD

угол 60°. Найдите основание AD трапеции.

 

2.8. Основанием пирамиды является прямоугольник со стороной a. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен α. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом β.

Часть третья

Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество:

 

4

a 5

4

a +5

 

:

10

4

a

= 2.

 

 

 

 

 

 

4 a +5

 

4 a 5

25a

 

 

 

 

 

 

3.2. Постройте график функции

f (x) = log1 log4x(4x)2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3.3.В треугольнике ABC известно, что AB =BC, BD и AM — высоты треугольника, BD:AM=3:1. Найдите cosC.

49

Часть четвертая

Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Определите

количество корней

уравнения sinx = a на промежут-

ке (π;2π

 

в зависимости от значения параметра a.

6 3

 

 

 

 

 

 

4.2.м Решите неравенство:

5

 

 

 

 

x2 +10x

 

 

+ 29 0.

 

 

 

x +5

 

 

 

 

 

4.3.м Решите уравнение 5x =4x +1 .

 

 

 

4.4.м Из точки

M, которая движется

по окружности, опускают перпен-

дикуляры на фиксированные диаметры AB и DC. Докажите, что длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, не зависит от положения точкиM.

50

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.