ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 20
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Найдите значение выражения |
16−0,75 8 |
− |
5 |
5 |
12 48 . |
||||
2.2.Чему равна сумма целых решений неравенства 5≤ 51−x <125?
2.3.Решите уравнение:
|
log0,52 x −0,25log0,5 x4 = 2 . |
|||||||||
2.4. Чему равно значение tgα , если cosα = |
1 |
и 3π < α < 2π ? |
||||||||
5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
2.5. Укажите область определения функции |
f (x) = |
|
5−4x − x2 |
. |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x +2 |
||
|
1 |
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Вычислите интеграл |
∫ |
|
|
− x dx . |
|
|
|
|
|
|
5x +4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7.В равнобокой трапеции ABCD известно, что AB=CD=6 см, BC=8 см, AD=12 см. Найдите тангенс угла A трапеции.
2.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см,
а высота пирамиды — 
22 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = xx22 +−11.
3.2.Найдите наибольшее значение выражения 12sinα −5cosα .
3.3.Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1:4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 см2.
41
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение:
sinx (4 −5cosx − 2sin2 x) = 0.
4.2.м Решите неравенство:
x2 −1 + 
2x −1 ≥1.
4.3.м При каких значениях параметра a уравнение
16x − (a +1) 4x + 4a −12 = 0
имеет единственное решение?
4.4.м На стороне AC треугольника ABC отметили точку M. Окружности, вписанные в треугольники ABM и MBC, касаются. Докажите, что
AB+MC=AM+BC.
42
Вариант 21
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Решите систему уравнений x2 − y2 = 91,
x + y =13.
2.2.Решите уравнение log52 x +0,5log5 x2 = 6 .
2.3.Укажите наибольшее целое решение неравенства x42 −+3xx ≥ 0.
2.4.Вычислите интеграл ∫1 (4x −3)3dx .
0
2.5. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), если b1 = 6 , b4 =162.
2.6. Упростите выражение
2.7. В треугольник ABC вписан ромб AMFK так, что угол A у них общий,
а вершина F принадлежит стороне BC. Найдите сторону ромба, |
если |
|||
AB=10 см, AC=15 см. |
|
|
|
|
2.8. Дан куб ABCDA1B1C1D1. На диагонали C1D его грани отметили точку M |
||||
так, |
что DM : MC1 = 5 : 3. Выразите вектор |
JJJG |
JJG |
|
AM |
через векторы |
AB , |
||
JJJJG |
JJJG |
|
|
|
AD |
и AA1 . |
|
|
|
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f (x) = x3 −3x2 −8x +9 наклонена к оси абсцисс под углом α = π4 .
3.2. Постройте график функции f (x) = 4 (x −2)4 −2x .
3.3.Основание пирамиды — ромб со стороной a и углом α. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны β. Найдите объем пирамиды.
43
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Найдите первообразную функции f (x) = cos2x cosx , график которой проходит через точку M (π2;121 ).
4.2.м Решите уравнение:
log3(3x2 −4x +4) = log3x 3+log3x x .
4.3.м При каких значениях параметра a неравенство x2 −(3a −4)x +(a −1)(2a −3) > 0
выполняется при всех положительных значениях x?
4.4.м Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус окружности, вписанной в данный треугольник,
равен 13 высоты, проведенной к средней по длине стороне треугольника.
44
Вариант 22
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Укажите область определения функции f (x) = 4 2x +16 .
2.2.Решите уравнение:
2x +22−x = 5.
2.3. Решите неравенство:
log0,4(5x +1) < log0,4(3− 2x).
2.4. Найдите производную функции |
f (x) = |
x2 |
−6 |
|
|
x2 |
+4 |
||||
|
|
|
2.5.Укажите область значений функции y = −x2 −4x −10.
2.6.Из города A в город B выехал товарный поезд. Через 2 ч из города A выехал пассажирский поезд, который прибыл в город B одновременно с товарным. Найдите скорость товарного поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости пассажирского, а расстояние между городами A и B равно 350 км.
2.7.Высота NE треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и PE. Найдите сторону NF, если EP=8 см, NP=17 см, F=60°.
2.8.Высота цилиндра равна 8 см, радиус основания — 5 см. На расстоянии 4 см от оси цилиндра параллельно ей проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося при этом сечения цилиндра.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение sin2x +sin x = 2cosx +1. |
|
3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 4 |
и |
x |
|
прямыми y = 4 и x = 4. |
|
3.3. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и равна 4 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около нее, равен 2,5 см.
45
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Найдите все значения параметра a, при которых уравнение logx (ax −4) = 2
имеет единственное решение.
4.2.м Докажите, что arctg13+arctg 12 = π4
4.3.м Решите неравенство:
3x + 4x ≥ 5x .
4.4.м В треугольнике ABC ( C=90°) на катете AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке E. Через точку E проведена касательная к этой окружности, которая пересекает катет BC в точке D. Докажите, что DE =DB.
46
Вариант 23
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
3
1 2 (1)−
2.1. Чему равно значение выражения 92 +273 − 4 2
2.2.Вычислите значение выражения 91−log3 6 .
2.3.Решите неравенство 5x+1 −3 5x−2 <122 .
2.4. Решите уравнение x2 +4x −5 = x −1.
2.5.Найдите первообразную функции f (x) = 2e−x + проходит через точку A (0;2).
2.6.Найдите корни уравнения:
?
cos3x , график которой
3sin2 x +sin2x − 3cos2 x = 0 .
2.7.Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной 3 см и 5 см, считая от вершины острого угла. Вычислите площадь параллелограмма, если его острый угол равен 60°.
2.8.Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Меньшая диагональ призмы равна 26 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Докажите тождество:
(sinα+sinβ)2 +(cosα+cosβ)2 = 4cos2 α2−β .
3.2.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = lnxx .
3.3.Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 45°. Найдите углы, которые образуют катеты треугольника с этой плоскостью.
47
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение:
2log8 2x +log8(x2 −6x +9) = 43 .
4.2.м Решите неравенство:
(2x−1 −1) x2 +2x −8 ≥ 0 .
4.3.м При каких значениях параметра a система
{(a −1)x −2ay = 2−4a, ax +(a +2)y = 3
имеет бесконечно много решений?
4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Проведены диаметры AD и AC этих окружностей. Докажите, что точки B, C и D лежат на одной прямой. (Рассмотрите случаи расположения центров окружностей в одной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)
48
Вариант 24
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1.Упростите выражение cos2α+sin2αtgα .
2.2.Чему равна сумма целых решений неравенства 32xx ++24 ≤1?
2.3.Решите неравенство log1(5−3x) ≥ −1.
4
2.4. Решите уравнение:
|
|
|
23− x = x −3. |
|
2.5. Найдите промежутки возрастания функции f (x) = x3 −27x . |
|
|||
2.4. Найдите первообразную |
|
функции f (x) = 6x2 +e4x , график |
которой |
|
|
|
1 |
e2 |
|
проходит через точку A |
2 |
; 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
2.7. В равнобокой |
трапеции |
ABCD основание BC равно 6 см, |
высота |
|
трапеции равна |
2 3 см, |
а боковая сторона образует с основанием AD |
||
угол 60°. Найдите основание AD трапеции. |
|
|||
2.8. Основанием пирамиды является прямоугольник со стороной a. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен α. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом β.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Докажите тождество:
|
4 |
a −5 |
− |
4 |
a +5 |
|
: |
10 |
4 |
a |
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 a +5 |
|
4 a −5 |
25− a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.2. Постройте график функции |
f (x) = log1 log4−x(4− x)2 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3.3.В треугольнике ABC известно, что AB =BC, BD и AM — высоты треугольника, BD:AM=3:1. Найдите cosC.
49
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Определите |
количество корней |
уравнения sinx = a на промежут- |
||||
ке (− π;2π |
|
в зависимости от значения параметра a. |
||||
6 3 |
|
|
|
|
|
|
4.2.м Решите неравенство: |
5 |
|
|
|||
|
|
x2 +10x − |
|
|
+ 29 ≤ 0. |
|
|
|
|
x +5 |
|||
|
|
|
|
|
||
4.3.м Решите уравнение 5x =4x +1 . |
|
|
|
|||
4.4.м Из точки |
M, которая движется |
по окружности, опускают перпен- |
||||
дикуляры на фиксированные диаметры AB и DC. Докажите, что длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, не зависит от положения точкиM.
50