ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 25
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Вычислите значение выражения |
cos43°cos17°−sin43°sin17° . |
|
sin37°cos23°+cos37°sin23° |
2.2. Сколько целых решений имеет неравенство 271 < 32−x ≤ 27?
2.3. Чему равно значение выражения 2log7 4+log7 0,5 ? log718−log7 9
2.4. Найдите область определения функции y = |
6 |
+ |
|
1 |
|
. |
|
3x +2 |
x |
|
−1 |
||||
|
|
|
|
||||
2.5. Найдите промежутки возрастания функции |
f (x) = x3 −3x2 . |
|
|||||
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Вычислите интеграл ∫ 3x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2.7.Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.
2.8.В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра этого основания под углом 120°, а из центра верхнего основания — под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина хорды равна 6 см.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Чему равно значение выражения 3 5− 2
6 6 49+ 20
6 ?
3.2.Решите уравнение:
2sinx − 3cosx = 2.
3.3.Через сторону нижнего основания и середину противоположного бокового ребра правильной треугольной призмы проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 45°. Площадь образовавшегося сечения равна 16
6 см2. Найдите объем призмы.
51
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют равенству:
log2 xy = log2(−x) + log2(−y) .
4.2.м Решите систему уравнений:
xy(x −1)(y −1) = 72,(x +1)(y +1) = 20.
4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = −x3 + 3x x − 3
на промежутке [0; 4].
4.4.м На стороне AC остроугольного треугольника ABC найдите такую точку, чтобы расстояние между ее проекциями на две другие стороны было наименьшим.
52
Вариант 26
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов. 2.1. Упростите выражение:
|
1 |
−1 |
11 |
|
|
|
5 |
a0,7b0,4 . |
|||
a4b |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2.2. Решите уравнение 3x+3 +3x = 84 .
2.3. Найдите координаты точки пересечения графиков функций y = 2− x
и y = x .
2.4. Какое наибольшее значение принимает функция f (x) = 6x2 − x4 −6 ?
2.5. Найдите третий член геометрической прогрессии, первый член которой b1 = 3 − 2 , а знаменатель q = 3 + 2 .
2.6.Катер должен был преодолеть расстояние между двумя портами, равное 80 км, за некоторое время. Поскольку он двигался со скоростью на 10 км/ч меньшей, чем предусматривалось, то опоздал на 24 мин. С какой скоростью должен был двигаться катер?
2.7.Диагонали трапеции ABCD (BC||AD) пересекаются в точке O. Найдите
отношение площадей треугольников BOC и AOD, если BC = 3 см,
AD = 7 см.
2.8.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a, а ее диагональное сечение — равносторонний треугольник. Найдите объем пирамиды.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение:
logx 9x2 log32 x = 4.
3.2.Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f (x) = x2x−4 .
3.3. Основание и |
боковая сторона |
равнобедренного треугольника равны |
20 см и 30 см |
соответственно. |
Найдите биссектрису треугольника, |
проведенную из вершины угла при его основании.
53
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a функция f (x) = ln( a2 + x2 − x) является нечетной?
4.2.м Найдите площадь треугольника, образованного прямой y = 2− x , осью
абсцисс и касательной к параболе y =1+2x − x2 в точке ее пересечения с осью ординат.
4.3.м Найдите значение выражения tg(12arcsin135 ).
4.4.м Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке J. Около данного треугольника описана окружность. Биссектриса угла B пересекает эту окружность в точке D. Докажите, что DJ = DA = DC.
54
Вариант 27
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Упростите выражение |
tg(π+α)+ctg(π2 +α). |
|
|||||
2.2. Решите уравнение |
|
8 |
|
− |
6− x = |
2 . |
|
6− x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
2.3. Вычислите значение выражения log612+log6 |
3 . |
||||||
|
|
|
|
|
2log3 6−log3 |
4 |
|
2.4. Решите уравнение 2 3x +3x−2 = 57. |
|
|
|||||
2.5. Найдите точку минимума функции |
f (x) = 1 x3 −2,5x2 +6x −1. |
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2.6. Арифметическая |
прогрессия (an ) |
задана |
формулой общего члена |
||||
an = 5n −2. Найдите сумму двадцати первых членов прогрессии.
2.7.Один из катетов прямоугольного треугольника равен 30 см, а радиус описанной около него окружности — 17 см. Вычислите площадь данного треугольника.
2.8. Точка A находится на расстоянии 9 см от плоскости α. Наклонные AB и AC образуют и плоскостью α углы 45° и 60° соответственно, а угол между проекциями наклонных на плоскость α равен 150°. Найдите расстояние между точками B и C.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите область определения функции f (x) = logx +4(9−8x − x2) .
3.2. Постройте график функции y = |
4 x12 |
−3. |
|
x |
|||
|
|
3.3.Основание прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник
суглом α при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону равнобедренного треугольника, равна l и наклонена
к плоскости основания под углом β. Найдите объем цилиндра, описанного около призмы.
55
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a функция f (x) = 4ln x +ax −3
не имеет критических точек?
2 |
x |
−1dx . |
4.2. Вычислите интеграл ∫ |
2x |
|
−2 |
2 |
+1 |
|
|
4.3.м Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют равенству:
|sin xsin y |=1.
4.4.м Точка M принадлежит стороне BC треугольника ABC. Докажите, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников AMB и MAC, не зависит от выбора точки M на стороне BC.
56
Вариант 28
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
6 57 55
2.1. Чему равно значение выражения 7 25 ?
2.2. Решите уравнение:
3x 5x−2 = 0,04 158−3x .
2.3. Найдите значение выражения |
sin(−α)−sin3 |
(−α) |
. |
|
sin2(−α)cos(−α) |
||||
|
|
|||
2.4. Упростите выражение log2 3 log3 5 log5 8. |
|
|
||
2.5. Найдите промежутки возрастания функции |
f (x) = (2x −1)e3x . |
|||
2.6.Теплоход прошел 27 км по течению реки и 21 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения равна 3 км/ч?
2.7.Сумма внешних углов треугольника ABC, взятых по одному при вершинах A и B, равна 250°. Найдите угол ACB.
2.8.Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, равен 6 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна диаметру основания.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = 2x − x2 ,
касательной, проведенной к данной параболе в точке с абсциссой x0 = 2, и осью ординат.
3.2.Найдите область определения функции f (x) = 
sinx + 
4 − x2 .
3.3.Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 48 см, а средняя линия трапеции — 25 см. Найдите высоту трапеции.
57
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите систему уравнений:
xlog3 y + ylog3 x =18,
log3 x +log3 y = 3.
4.2.м Решите неравенство:
(2x − 2)
x2 − x − 6 ≥ 0 .
4.3.м При каких значениях параметра a уравнение
(x − 2)arcsin(x − a) = 0
имеет единственное решение?
4.4.м На одной из сторон угла с вершиной в точке M выбраны точки A и B, а на другой стороне — точки C и D так, что MA MB=MC MD. Докажите, что точки A, B, C и D принадлежат одной окружности.
58
Вариант 29
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
2.1. |
Сократите дробь |
a −9a |
2 |
|
|
. |
|||
3 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
a |
4 |
+3a |
2 |
|
|
||
2.2.Решите неравенство (54)6x+9−x2 > 1625 .
2.3.Решите уравнение:
x −1+ x +15 = 2 . |
|
|
2.4. Чему равно наименьшее значение функции f (x) = 1 x3 |
−2x2 |
+3x −5 на |
3 |
|
|
промежутке [2; 4]?
2.5. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии:
−10,2; –9,6; –9; ... .
2.6. Решите уравнение:
3sin2x + cos5x − cos9x = 0.
2.7. Из точки D, не лежащей на прямой n, проведены к этой прямой наклонные DK и DB, образующие с ней углы 45° и 60° соответственно.
Найдите |
длину проекции наклонной DK на прямую n, если |
DB =10 |
3 см. |
2.8.Высота конуса равна 20 см, а расстояние от центра его основания до образующей — 12 см. Найдите объем конуса.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Решите уравнение |
2lg x |
=1. |
|
lg(5x −4) |
|||
|
|
3.2.Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f (x) = xx −+23 в точке с абсциссой x0 = 3.
3.3.Основание прямой призмы — ромб с острым углом α. Площадь диагонального сечения призмы, проходящего через бóльшую диагональ основания, равна S. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
59
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение:
2sinx cos2x = 
5sin2x − 6sinx .
4.2.м Определите количество решений системы
y = a + x ,2x + y −1= 0
в зависимости от значения параметра a.
4.3.м Решите уравнение:
4x − (19− 3x) 2x + 34− 6x = 0.
4.4.м В окружности, радиус которой равен R, проведены две хорды AB и CD, которые пересекаются под прямим углом. Докажите, что
AC2 + BD2 = 4R2 .
60