ДПА-11-2014-2
.pdf
Вариант 55
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Представьте в виде дроби выражение |
3 |
b |
− |
6 b |
. |
|
3 b − 4 |
6 b + 2 |
|||||
|
|
|
||||
2.2.Решите уравнение 4x −14 2x −32 = 0.
2.3.Решите неравенство:
log2(3x +2) < log2 5+4 .
2.4. Решите уравнение:
2sin2 x = 3cos x .
2.5.Найдите промежутки возрастания функции f (x) = x3 − x2 − x +8.
2.6.Чему равна сумма целых решений неравенства 3xx+−35 ≤1?
2.7.Стороны треугольника равны 36 см, 29 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его большей стороне.
2.8.Параллельно оси цилиндра проведена плоскость. Образовавшееся сечение является квадратом и отсекает от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания равен 2
2 см.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x2 и прямой y = 2− x .
3.2.Решите уравнение (x2 − 6x +5)
2x +8− x2 = 0.
3.3.Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым углом α. Боковое ребро, проходящее через вершину другого острого угла основания, перпендикулярно плоскости основания и равно h, а боковая грань, содержащая катет, прилежащий к данному углу α, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем пирамиды.
111
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких значениях параметра a неравенство cos2 x −(2a −1)cos x +a2 −a > 0
выполняется при всех действительных значениях x?
4.2.м Решите уравнение:
|lg x +1| + |lg x −3| = 4.
4.3.м Решите уравнение:
5x +1 + 
x + 6 = 
2x + 3 + 
6x − 2 .
4.4.м На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки N и F так, что BN:NA=1:1 и DF:FA =3:1. Отрезки BF и CN пересекаются в точке M. Найдите отношение NM:MC.
112
Вариант 56
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
|
|
|
|
|
|
|
4a |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
2.1. Чему равно значение выражения |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
при |
a = 2 ? |
|||||
|
|
|
3 |
−3a |
−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a4 |
4 |
|
|
|
|
|||||||
2.2. Решите неравенство 125x 5x2−x+3 <125 . |
|
|
|
|
|||||||||||
2.3. Вычислите значение выражения 6 |
6log6 |
|
2+1log6 |
27 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
2.4. Решите уравнение |
3− x + |
x +1 |
|
= 41 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
3− x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x +1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.5. Найдите первообразную функции |
|
|
f (x) = |
|
12 |
|
, график которой про- |
||||||||
|
|
|
4x −3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ходит через точку A (3;18).
2.6.Катер прошел 40 км по течению реки и такое же расстояние против течения, затратив на путь против течения на 20 мин больше, чем на путь по течению. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.
2.7. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 15 см, а высота — 3
3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 150°.
2.8. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной a и тупым углом α. Бóльшая диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-
ции f (x) = xx22 +−44 .
3.2. Докажите тождество:
(cos(2π−α)+sin(32π +5α())(cos(π2)−α)−sin(π+5α))= sin4α . 1+sin 32π −6α
3.3.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4 см, а медиана, проведенная к этой стороне, — 3 см. Найдите периметр треугольника.
113
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Определите количество решений уравнения
1− x + 3 = a
в зависимости от значения параметра a.
4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: arcctg x +arcctg 1x = π2 .
4.3.м Решите уравнение:
log3x x3 − log9x x2 = 0.
4.4.м На катете BC прямоугольного треугольника ABC отметили произвольную точку M. Из точки M опущен перпендикуляр MN на гипотенузу AB. Докажите, что ANC = AMC.
114
Вариант 57
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2
2.1. Найдите значение выражения 8log 3 2 .
|
|
1 |
−5 |
|
1 |
−25 |
|
|
|
|
|
|
2.2. |
Упростите выражение |
2y4 |
: |
4y2 |
. |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5y4 |
|
5y2 |
|
|
|
|
|
|||
2.3. Решите уравнение 4x +41−x = 5 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
2.4. Укажите область определения функции f (x) = |
5 |
− |
7 |
. |
||||||||
4x −12 |
x2 −16 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.5.Найдите первообразную функции f (x) = 3x2 − 2x + 4 , график которой проходит через точку M (1; −2) .
2.6.Какие три положительных числа надо вставить между числами 2 и 162, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?
2.7.В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 6 см и 12 см. Найдите периметр трапеции.
2.8.Объем конуса равен 100π см3, высота — 12 см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1. Найдите |
уравнение |
касательной |
к |
графику |
функции |
f (x) = 0,2x2 + 4x −5, которая параллельна прямой |
y = 6x − 3. |
|
|||
3.2. Упростите |
выражение |
(ctgα − tgα) 2ctg2α tg2α + 2 , |
если |
||
π2 < α < 34π .
3.3.Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 6 см. Одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
115
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м В зависимости от значения параметра a найдите критические точки функции f (x) = (3x − 2)6 x − a .
4.2.м Решите неравенство:
2x − 20 + x +15 ≥ 5. |
|
4.3.м Постройте график функции y = arccos x + arccos |
1− x . |
4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC ( AB = BC) |
угол при вершине |
равен 108°. В этом треугольнике проведены биссектрисы AA1 и BB1. Докажите, что AA1= 2BB1.
116
Вариант 58
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|||||||||
2.1. |
Упростите выражение |
a |
2 |
+2a |
4 |
b |
4 |
+b |
2 |
|
: |
a |
2 |
+a |
4 |
b 4 |
. |
||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a |
4 |
b |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|||
2.2.Упростите выражение tgβ +1+cossinββ .
2.3.Решите уравнение:
6x+2 − 4 6x+1 +8 6x = 120.
2.4.Первый член арифметической прогрессии равен 6, а разность равна –2. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной −30?
2.5.Решите уравнение:
x + 78 − x = 6 . |
|
|
|
2.6. Найдите наибольшее значение функции f (x) = |
x4 |
−9x2 |
на промежут - |
|
|||
2 |
|
|
|
ке [–1; 2].
2.7.Высота NF треугольника MNK делит его сторону MK на отрезки MF и FK. Найдите отрезок MN, если FK = 6
3 см, MF=8 см, K=30°.
2.8.Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной
призмы, диагональ которой равна 8
2 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 3x и прямыми y = 2x +1 и x = 3.
3.2.Решите неравенство lg2 10x − lgx ≥ 3.
3.3.Биссектриса угла A треугольника ABC ( C=90°) делит катет BC на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, C и точку пересечения данной биссектрисы с катетом BC.
117
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней уравнения x3 + ax2 +bx −16 = 0 равен 
2 +1?
4.2.м Сколько корней уравнения
|
sin3x −sin x |
= 0 |
|||
|
|
||||
|
|
1 |
−cosx |
||
принадлежит промежутку |
π |
; 7π |
? |
||
|
|
6 |
6 |
|
|
4.3.м Найдите все пары действительных чисел (x; y) , удовлетворяющих неравенству:
x2 −6x +18 y2 +14y +50 ≤ 3.
4.4.м Докажите, что радиус r окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, вычисляется по формуле r = aab+b , где a и b — длины оснований трапеции.
118
Вариант 59
Часть вторая
Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.
2.1. Решите уравнение 9x −9 = 8 3x .
2.2. Найдите значение производной функции f (x) |
= e−2x |
+e |
x |
в точке x0 = 0 . |
||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
−1 |
|
|
|
|
2.3. Чему равно значение выражения |
163 |
253 |
|
? |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
4 |
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1259 |
|
|
|
|
|
|
2.4. Найдите область определения функции f (x) = |
6 |
. |
|
|
||||||
x −9 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5. Вычислите интеграл ∫4 (3x + x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Упростите выражение |
2 cosα − 2cos(45°+α). |
|
|
|
|
|||||
|
2sin(45°+α) − |
|
2 sinα |
|
|
|
|
|||
2.7.Из точки M, не лежащей на прямой l, проведены к этой прямой наклонные MN и MK, образующие с ней углы 30° и 45° соответственно. Найдите наклонную MK, если длина проекции наклонной MN на прямую l равна 4
3 см.
2.8. Через конец M радиуса OM шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол 30°. Площадь образовавшегося сечения равна 36π см2. Найдите площадь поверхности шара.
Часть третья
Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
3.1.Решите уравнение xlog3 x = 81.
3.2.Постройте график функции y = |coscosxx | .
3.3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом α. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.
119
Часть четвертая
Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.
4.1.м Решите уравнение:
3
x + 6 + 
x + 2 = 4.
4.2.м При каких значениях параметра a уравнение
x3 −13x2 + ax − 27 = 0
имеет три действительных корня, образующие геометрическую прогрессию?
4.3.м Докажите, что cos 221π +cos 421π +cos621π +...+cos 2021π = − 12
4.4.м На стороне BC треугольника ABC отметили точку D так, что BD:DC=2:3. В каком отношении отрезок AD делит медиану BM ?
120